Groupe de Recherche Interuniversitaire

Analyse Harmonique Invariante sur les Espaces Symétriques Réductifs

Projet du groupe de recherche (en détail)

Introduction

    L'analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs a connu au cours des dix dernières années des progrès importants. Notamment la formule de Plancherel a été établie par deux voies differentes (E. van den Ban et H. Schlichtkrull, P. Delorme), la détermination de la mesure de Plancherel n'étant pas encore tout à fait satisfaisante, et un théorème de Paley-Wiener a été prouvé (van den Ban et Schlichtkrull). Par ailleurs l'inversion des intégrales orbitales a été obtenue pour les groupes et pour $G(\mathbb{C})/G(\mathbb{R})$ (Harish-Chandra, A. Bouaziz et P. Harinck).
    Il nous semble qu'il reste beaucoup à faire dans ce domaine et nous souhaitons proposer un certain nombre d'exposés pour créer une dynamique autour de ces problèmes. Les exposés pourraient avoir lieu a Chevaleret ou au Centre International de Rencontres Mathématiques, à Luminy pour réunir les collègues intéressés, qui, nous semblent-ils, sont dispersés entre Brest, Nancy, Paris, Marseille, Poitiers, Strasbourg...
    Le but serait dans un premier temps de faire le point de ce qui est connu, éventuellement de savoir ce qui a été tenté et de poser clairement les questions.

Analyse harmonique invariante

    Le but de celle-ci est d'étudier d'une part :
    1)
    		les intégrales orbitales,
    2)
    		les distributions sphériques, i.e. les distributions sur $G/H$, invariantes à gauche par $H$ et propres sous l'algèbre des opérateurs différentiels invariants à gauche par $G$.
    3)
    		essayer d'écrire les unes à partir des autres.

    On a des problèmes similaires et en principe plus faciles sur l'espace tangent à $ G/H$ en l'élément neutre.
    Le cas de $G\times G/Diag(G)$ et $ G(\mathbb {C})/G(\mathbb {R})$ a été résolu (Harish-Chandra, A. Bouaziz, P. Harinck). Des exposés pourraient faire le point sur ce qui est connu sur les intégrales orbitales en rappelant, e.g., la définition, les problèmes de tempérance... D'autres, sur les distributions sphériques, un des grands problèmes est que celles-ci ne sont pas nécessairement des fonctions localement intégrables. Il faudrait faire le point sur les contre-exemples connus.
    Une étude systématique des distributions sphériques à support minimal devrait être entreprise.
    Il semble que l'on manque d'une théorie des parties radiales assez explicites. Il faudrait faire le point sur ce qui est connu et voir quels sont les obstacles rencontrés ? Ceci nous semble-t-il est lié à la question suivante : quel type de formule cherche-t-on sur l'ensemble des éléments réguliers pour les distributions sphériques ?
    Un autre grand problème est l'étude directe des distributions sphériques provenant des représentations : les coefficient généralisés correspondant à des vecteurs distributions $ H$-invariants de représentations.
    Le premier exemple concerne ceux correspondants aux séries discrètes. Que peut-on en dire ? Dans quels cas ceux-ci sont-ils des fonctions localement intégrables ? Peut-on déterminer une formule pour certains sous-ensembles de Cartan ? Que peut on dire du support ?
    Ensuite on peut passer aux induites à partir de séries discrètes. Si pour la série discrète, le coefficient généralisé est localement intégrable, en va-t-il de même pour l'induite ?
    Il faudrait faire le point sur les théorèmes de Paley-Wiener invariants et leurs possibles généralisations (Clozel-Delorme, Bouaziz, Delorme-Flensted-Jensen,...). Ces théorèmes sont importants pour leur utilisation dans la formule des traces relatives (voir plus bas).

Formule des traces relatives

    Donnons une idée de cette formule dans le cas cocompact. On suppose $ \Gamma \subset G$ est un sous-groupe discret, cocompact, stable par l'involution et $ H/H\cap \Gamma $ est cocompact. Alors la mesure $ H$-invariante sur $ H/H\cap \Gamma $ est un vecteur distribution $ H$-invariant de la représentation régulière gauche de $ G$ dans $ L^{2}(G/\Gamma)$. On étudie le coefficient généralisé de cette représentation pour ce vecteur distribution. On le décompose à l'aide de la décomposition de la représentation régulière gauche de $ G$ dans $ L^{2}(G/\Gamma)$ en irréductibles. D'autre part on peut l'écrire à l'aide d'intégrales orbitales sous $H$. La formule fait apparaître les objets de la section précédente. Il existe, au moins dans certains cas, une version globale de cette formule des traces. Celle-ci nous semble-t-il, met en jeu des espaces symétriques $p$-adiques, pour lesquels on peut se poser des questions analogues à celles posées ou résolues sur les espaces symétriques réductifs réels.

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