Sébastien MORICEAU

Docteur (en poste d'ATER)

IRMA Université de Strasbourg 7, rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex France

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Sujets de recherche

Automates cellulaires

Variétés algébriques réelles

Publications

Cellular automata on a G-set, J. Cell. Autom., Vol.6, Num.6 (2011), 461-486.

Cellular automata over a projective algebraic variety, en cours de rédaction

Thèse : Isotopies rigides de variétés algébriques réelles

Une surface de degré m dans l'espace projectif réel RP³ est un polynôme homogène de degré m en 4 variables à coefficients réels et considéré à multiplication par un réel non nul près. L'ensemble des points réels de la surface est l'ensemble des zéros du polynôme dans RP³. Une classification naturelle des surfaces dans l'espace projectif réel est la classification à isotopie près. Une classification plus fine est celle à isotopie rigide près. Le premier résultat obtenu est une classification à isotopie près des surfaces de degré 4 avec un point double non dégénéré. Le deuxième résultat est une classification à isotopie rigide près des surfaces de degré 4 avec un point double non dégénéré, excepté le cas des surfaces dont l'ensemble des points réels est connexe et non contractile. Enfin, le troisième résultat concerne les groupes de monodromie des surfaces non singulières de degré 4; ces groupes ont tous été calculés.

A surface of degree m in the real projective space RP³ is a homogeneous polynomial of degree m in 4 variables, with real coefficients, and considered up to multiplication by a nonzero real number. The set of real points of the surface is the set of zeros of the polynomial in RP³. A natural classification of surfaces in the real projective space is the classification up to isotopy. A finer classification is the one up to rigid isotopy. The first result obtained is a classification up to isotopy of surfaces of degree 4 with a nondegenerate double point. The second result is a classification up to rigid isotopy of surfaces of degree 4 with a nondegenerate double point, except the case of surfaces whose set of real points is connected and non-contractible. Finally, the third result concerns the monodromy groups of nonsingular surfaces of degree 4; all these groups are calculated.

On appelle surface algébrique réelle de degré 4, un polynôme A réel homogène en quatre variables de degré 4, défini à une constante réelle non nulle près. On appelle ensemble des points complexes de la surface, les zéros de ce polynôme dans l'espace projectif CP³, et on le note CA. La variété CA est une surface K3. De même, on appelle ensemble des points réels de la surface, les zéros de ce polynôme dans l'espace projectif RP³, et on le note RA. On dira qu'un point de RA est un point double non dégénéré de la surface A s'il annule toutes les dérivées partielles d'ordre 1 de A et si le déterminant des dérivées partielles d'ordre 2 est non nul. Dans la suite, on considère les surfaces ayant un seul point double non dégénéré et aucun autre point singulier.

On peut identifier le groupe H₂(CA;Z) muni de la forme d'intersection avec le réseau L=U⊕U⊕U⊕E₈⊕E₈. On note par B la forme bilinéaire du réseau L. Comme A est à coefficients réels, la conjugaison complexe dans CP³, notée conj, induit une involution sur CA, laquelle induit une involution conj_* sur H₂(CA;Z). On note par φ l'involution dans L correspondante à conj_*. On note par L₊ et L₋ les sous-espaces propres de φ correspondant aux valeurs propres 1 et -1 respectivement. Si v est un vecteur de carré -2, on note par σ_v la réflexion dans L par rapport à un hyperplan orthogonal à v; on a σ_v(x)=x+B(x, v)v.

Dans le groupe H₂(CA;Z), on distingue 2 éléments: h_A, la classe de la section hyperplane et δ_A, la classe du diviseur exceptionnel. On note par h et δ les images respectives de h_A et δ_A dans L. Alors, h ∈ L₋, δ ∈ L₊∪L₋, B(h, h)=4, B(δ, δ)=−2 et B(h, δ)=0. On note par L_+δ le sous-espace de L₊ orthogonal à δ, par L_−h le sous-espace de L₋ orthogonal à h et par L_−hδ le complémentaire orthogonal dans L₋ du réseau engendré par h et δ.

On dira que deux quadruples (L, φ, h, δ) et (L′, φ′, h′, δ′) sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de réseau ƒ: L→ L′ tel que ƒ_°φ = φ′_°ƒ, ƒ(h)=h′ et ƒ(δ)=δ′.

On fixe maintenant un tel quadruple (L, φ, h, δ).

On appelle surface K3 marquée, une surface K3 X munie d'un isomorphisme de quadruple (H₂(X;Z), conj_*, h_A, δ_A)→(L, φ, h, δ).

  espace des périodes

On définit l'espace Ω par

Ω = {ω ∈ L⊗C|ω ≠ 0, BC(ω, ω)=0, BC(ω,

− ω)

> 0, BC(ω, h)=0, BC(ω, δ)=0, φ(ω)=

− ω)

}/R*

où B_C est l'extension de la forme B à L⊗C. On peut voir Ω comme l'espace des périodes des surfaces K3 marquée ayant un point double non-dégénéré, dont l'involution est équivalente à φ et avec le système linéaire |h|.

Les périodes qui peuvent être envoyées l'une sur l'autre par un automorphisme de quadruples seront dites équivalentes. Soit ω ∈ L⊗R engendrant la classe [ω] ∈ Ω. Alors

ω = ω₊+iω₋ où ω₊ ∈ L_+δ⊗R et ω₋ ∈ L_−hδ⊗R.

Les restrictions de B à L_+δ et L_−hδ ont pour signature respective (1, l₊) et (1, l₋) avec l₊+l₋=18. Par conséquent, l'espace Ω a deux composantes connexes qui sont envoyées l'une sur l'autre par −φ. D'autre part, σ_δ agit identiquement sur Ω. Posons τ = −φ_°σ_δ si δ ∈ L₊ et τ = −φ si δ ∈ L₋. Alors, comme une période et son image par τ sont équivalentes, on peut considérer l'espace Ω/{1, τ} comme l'espace des périodes. Notons par L_+δ et par L_−hδ les espaces hyperboliques correspondants aux espaces L_+δ⊗R et L_−hδ⊗R respectivement. On a alors que

Ω/{1, τ}=L_+δ×L_−hδ

Une période ([ω₊, ω₋]) ∈ L_+δ×L_−hδ est la période d'une surface K3 marquée s'il n'y a pas de vecteurs v ∈ L tels que B_C(ω, v)=0, B(v, h)=0, B(v, v)=−2 ni de vecteurs c ∈ L tels que B_C(ω, c)=0, B(c, h)=2, B(c, c)=0. Remarquons qu'à chaque tel vecteur c, on peut associer un vecteur v=2c−h de carré -4 tel que B(v, h)=0 et v ≡ h(mod 2L). Les réflexions dans L_+δ par rapport à un hyperplan orthogonal à un vecteur v ∈ L_+δ de carré -2, définies par x→σ_v(x), ainsi que les réflexions définies par

x→−x−

B(x, v) 2

v+

B(x, h) 2

h=−x−B(x, v)

v+h 2

+B(x,

v+h 2

)h

avec v de carré -4 et v ≡ h(mod 2L) se prolongent en des automorphismes du quadruple (L, φ, h, δ). On a la même chose dans L_−hδ. Soit Ω_+δ et Ω_−hδ les domaines fondamentaux des groupes générés par ces réflexions dans L_+δ et L_−hδ respectivement. Alors, la période d'une surface K3 marquée se trouve dans Ω_+δ×Ω_−hδ à équivalence près.

Considérons tous les hyperplans dans L_+δ orthogonaux à des vecteurs de carré -6 équivalents à δ modulo 2L. Ces hyperplans divisent le polytope Ω_+δ en des polytopes Ω_+δⁱ, i=1, 2, .... De même, on considère tous les hyperplans dans L_−hδ orthogonaux à des vecteurs de carré -6 équivalents à δ modulo 2L. Ces hyperplans divisent le polytope Ω_−hδ en des polytopes Ω_−hδ^j, j=1, 2, .... On note la réunion des composantes Ω_+δⁱ×Ω_−hδ^j par Ω_*.

Théorème :

Considérons toutes les surfaces de degré 4 ayant un point double non dégénéré, et dont le quadruple (H₂ (CA;Z), conj_* , h_A, δ_A) est isomorphe à (L, φ, h, δ). Alors, les classes d'isotopies rigides de ces surfaces sont en bijection avec les composantes connexes de Ω_* considérés à automorphismes de (L, φ, h, δ) près.