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Programme détaillé du Master 2 recherche 2012-2013

Voir Master 2 Mathématiques Fondamentales et Appliquées 2012-2013 : programme

Premier trimestre : 5 cours, 35 heures/cours
Topologie algébrique
Pierre Guillot
Ce cours propose non seulement d’exposer les techniques de topologie algébrique les plus couramment utilisées dans les autres branches des mathématiques, mais également de présenter certains concepts généraux comme les catégories, les foncteurs, les faisceaux.
Géométrie symplectique et dynamique hamiltonienne
Emmanuel Opshtein
Le but de ce cours est de familiariser les étudiants avec les concepts (...)

Voir Eléments de la géométrie énumérative.

Viatcheslav Kharlamov

L’objectif est de s’inspirer de la méthode de la géométrie énumérative complexe pour arriver à résoudre des problèmes analogues en géométrie énumérative réelle et, en particulier, démontrer l’abondance de solutions réelles dans des multiples problèmes énumératifs.

Ainsi, le cours sera construit autours de deux axes parallèlles : géométrie complexe versus géométrie réelle.

Voir Équations différentielles.

Daniel Panazzolo

Champs de vecteurs et flots Ensembles invariants et récurrents Point fixes - hyperbolicité, varietés stable, instable et centrale Champs de vecteurs du plan : Theorème de Poincaré-Bendixson. Théorie des formes normales. Mecanique Hamiltonienne : Equation d’Euler-Lagrange, systèmes complètement intégrables et théorème KAM. Feuilletages : integrabilité (Frobenius), feuilletages singulières de dimension 1 et de codimension (...)

Voir Géometrie symplectique et dynamique hamiltonienne

Emmanuel Opshtein.

Le but de ce cours est de familiariser les étudiants avec les concepts de base de la géometrie symplectique. Les structures symplectiques apparaissent naturellement sur les espaces de phases de la mécanique classique. A l’intérieur même des mathématiques, la géometrie symplectique est apparue liée à de nombreux domaines (géometrie Kahlerienne, Riemannienne, ...). Enfin, l’étude des problèmes globaux en géometrie symplectique - couramment appelé topologie symplectique - est un domaine de recherche très actif. Dans ce cours, je commencerai par des notions de géometrie différentielles classiques (formes différentielles, fibrés vectoriels, connexions). J’expliquerai ensuite la géometrie locale des structures symplectiques, puis des symétries particulières de ces structures : les difféomorphismes Hamiltoniens. Je terminerai par des théorèmes "globaux" de la géométrie symplectique : existence d’orbites périodiques des isotopies Hamiltoniennes, et Théorème de non-tassement de Gromov.

Voir Groupes de Lie. Reseaux.

Pierre Py

Ce cours est une introduction à la théorie des groupes de Lie et de
leurs sous-groupes discrets. La première partie consistera en une
introduction aux groupes de Lie (groupes de Lie, leurs sous-groupes
fermés, algèbres de Lie, représentation adjointe, groupes semisimples,
algèbres semisimples). Dans une seconde partie, nous ferons une
introduction, centrée sur des exemples, à la théorie des réseaux dans
les groupes de Lie (mesures de Haar, conditions nécessaires pour
l’existence d’un réseaux, densité de Borel, exemples de réseaux dans
SL(n,R), SO(n,1), théorie de Malcev des réseaux dans les groupes de Lie
nilpotents).

Voir Introduction à la géométrie algébrique.

Carlo Gasbarri

Le cours sera une introduction aux outils de base de la géométrie
algébrique. On verra la notion de variété affine, projective et
abstraite sur un corps quelconque. On verra les propriétés
fondamentales des variétés et beaucoup d’exemples.

Voir Soutenances des mémoires M2

Toutes les soutenances aurons lieux en salle C32.

Voir Surfaces de Riemann.

Gianluca Pacienza

L’objectif du cours est d’introduire les étudiants aux surfaces de Riemann sans assumer une connaissance préalable de la topologie algébrique. Cela sera l’occasion pour introduire, au passage et de façon très concrète, le langage moderne des diviseurs, des fibrés en droites et de leur cohomologie.

Voir Systèmes intégrables.

Martin Bordemann

Un système intégrable au sens de Liouville est une équation différentielle hamiltonienne sur une variété de Poisson (par exemple symplectique) qui a suffisamment d’intégrales premières indépendantes, i.e. des fonctions lisses sur la variété constantes sur chaque courbe intégrale. Plusieurs équations de Newton sont intégrables comme l’oscillateur harmonique ou un système gravitationnel à deux corps, mais on a trouvé beaucoup d’autres depuis 50 ans. Nous allons rappeler les variétés symplectiques (au moins localement), les champs de vecteurs hamiltoniens et le crochet de Poisson sur l’algèbre de toutes les fonctions lisses. Après avoir donné la définition précise de l’intégrabilité au sens de Liouville, on va étudier les premiers exemples explicites comme le flot géodésique sur la sphère de dimension n.
Ensuite, on introduira les couples de Lax, et étudie d’autres exemples comme la chaîne de Toda ou les systèmes de Calogero-Moser. Finalement, on regarde quelques techniques pour transformer une symétrie nonabélienne (donnée par une algèbre de Lie) en une symétrie abélienne à l’aide de l’astuce de Manakov-Mishchenko-Fomenko.

Voir Théorie de Hodge.

Claude Sabbah

Plan du cours :
0. Introduction.
0.1. Le théorème de Lefschetz « diffcile ».
0.2. Le théorème de Hodge.
1. Structures de Hodge-Lefschetz.
1.2. Algèbre multi-linéaire hermitienne.
1.2.a. Les opérateurs fondamentaux et leurs relations.
1.3. Décomposition de Lefschetz et éléments primitifs.
1.3.a. Décomposition de Lefschetz associée à un $\mathfraksl_2$-triplet.
1.3.b. Structures de Hodge-Lefschetz.
2. Théorie de Hodge sur les variétés kählériennes complexes compactes
2.1. Variétés (...)

Voir Topologie algébrique.

Pierre Guillot

Ce cours propose non seulement d’exposer les techniques de topologie
algébrique les plus couramment utilisées dans les autres branches des
mathématiques, mais également de présenter certains concepts généraux
comme les catégories, les foncteurs, les faisceaux.

Voir Topologie en petite dimension.

François Costantino

Le but de ce cours est de donner une vue générale sur les problèmes, les réponses et les techniques utilisées en topologie en petite dimension, un des domaines les plus actifs des derniers 30 ans en géométrie.
Nous commencerons par des rappels sur les notions de variété, variété lisse et Riemannienne, pour puis rapidement discuter les différentes catégories utilisées en petite dimension.
Puis nous nous intéresserons à la dimension 2 : après avoir discuté le théorème de classification des surfaces, nous analyserons les géométries en dimension 2 avec attention particulière à la géométrie hyperbolique. Nous définirons l’espace de Teichmuller et le groupe modulaire et nous discuterons quelques unes des multiples connexions de ces objets avec d’autres champs des mathématiques.
La dimension 3 sera le thème de la troisième partie du cours : nous énoncerons une liste de théorèmes fondamentaux (le théorème d’Alexander, le lemme de Dehn, le théorème de la sphère). Nous discuterons plus en détail le théorème de décomposition de Jaco Shalen et Johansson et puis le programme de géométrisation de Thurston et la conjecture de Poincaré.
Dans la dernière partie du cours nous discuterons les différences fondamentales entre dimension 3 et 4, en définissant les formes d’intersection des 4 variétés, et en énonçant les théorèmes de Freedman et de Donaldson. Si le temps le permet nous nous intéresserons au calcul de Kirby présentant toute 3 variété comme bord d’une 4 variété en utilisant les chirurgies sur entrelacs dans la sphère.