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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 recherche 2010-2011 > Systèmes dynamiques, substitutions, et fractions continues

Systèmes dynamiques, substitutions, et fractions continues

Nicolas Chevallier

Ce premier cours spécialisé etudiera de manière plus approfondie le cas des rotations irrationnelles et des systèmes dynamiques symboliques associés, lesquelles constituent des exemples fondamentaux de la théorie ergodique.

Les trajectoires d’angle \alpha du billard carré se décrivent entièrement à l’aide des suites x+n\alpha mod 1. La suite des cotés verticaux ou horizontaux du carré rencontrés par une telle trajectoire, est un mot infini écrit avec l’alphabet à deux lettres \{H,V\}. On code ainsi le réel x par un élément de \{0,1\}^{\bf N}. Ce codage relie la translation \tau(x)=x+\alpha mod 1 avec un système dynamique symbolique. Nous développerons cet exemple qui est à l’origine des notions étudiées dans ce cours. Après une brève introduction aux systèmes dynamiques topologiques, nous étudierons les sytèmes dynamiques associés aux substitutions. Nous nous intéresserons aux relations entre ces systèmes dynamiques, les fractions continues et les codages des translations du tore.

Bibliographie

-  Fogg, N. Pytheas, Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Edited by V. Berthé, S. Ferenczi, C. Mauduit and A. Siegel, Lecture Notes in Math., 1794, Springer, Berlin, 2002.
-  Walters, Peter, An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

Dernière mise à jour le 3-03-2010