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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 recherche 2010-2011 > Théories des champs

Théories des champs

Vladimir Fock

La théorie des champs est une partie intégrante des mathématiques d’aujourd’hui. A l’instar d’autres théories mathématiques importantes, la théorie des champs a ses origines dans la physique. Dans ce cours, on commencera par présenter un cadre axiomatique, pour ensuite considérer plusieurs exemples importants. En partant des exemples les plus simples, comme le formalisme de la mécanique classique, nous en construirons d’autres plus complexes en rajoutant des structures géométriques. A chaque étape on retrouvera des théorèmes qui peuvent être formulés sans utiliser le langage de la théorie des champs, mais dont l’origine, la structure et souvent la preuve deviennent beaucoup plus transparentes en utilisant ce langage.

La théorie des champs sert de guide et de principe unificateur pour une multitude de domaines de recherche comme la cohomologie de Floer, la symétrie miroir, la topologie quantique en dimension trois. Par ailleurs, elle permet de systématiser plusieurs théories classiques en géométrie différentielle, topologie, théorie des représentations et algèbre. Le cours introduira le langage et les conventions de la théorie des champs, qui sont indispensables pour comprendre une partie essentielle de la littérature mathématique d’aujourd’hui.

Prérequis : Il serait largement souhaitable d’avoir suivi les deux cours "Introduction à la géométrie symplectique" et "Opérateurs différentiels elliptiques".

Contenu du cours :

- Axiomes de Atiyah-Segal de la théorie des champs classique.
- Exemple : Homologie.
- Exemple : groupes de difféomorphismes à 1 paramètre.
- Fonction génératrice d’un symplectomorphisme. Equation de Hamilton-
Jacobi.
- Calcul variationnel. Equations d’Euler-Lagrange.
- Structure symplectique canonique sur les conditions initiales.
- Exemple : Intégral de Dirichlet. Applications harmoniques et minimales.
- Minimalité des sous-variétés holomorphes dans les variétés kähleriennes.
- Surfaces dans les variétés pseudo-kähleriennes et la structure de la théorie
des champs correspondante.
- Axiomes de Atiyah-Segal de la théorie des champs quantique.
- Exemple : Bosons libres.
- Espace des modules des courbes complexes.
- Formule de la phase stationnaire. Séries de Feynman.
- Exemple : Calcul de la caractéristique d’Euler de l’espace des modules.
- Exemple : Séries pour la solution fondamentale de l’équation de Laplace.
Formule de Feynman-Kac.
- Problèmes variationnels supersymétriques.
- Spineurs. Equation de Dirac.
- Séries pour la solution fondamentale de l’équation de Dirac.
- Théories des champs topologiques à partir des théories supersymétriques.
- Introduction à la théorie des cordes.

Bibliographie :

- V.I. Arnold. Les Méthodes mathématiques de la mécanique classique, Editions MIR, Moscou, 1976.
- M. Atiyah. The Geometry and Physics of Knots, Cambridge Univ. Press, 1990.
- R.E. Borcherds, A. Barnard. Lectures on Quantum Field Theory, disponible en ligne sur ArXiv
- N.K. Reshetikhin. Lectures on quantum field theory, livre en préparation.

Dernière mise à jour le 24-03-2010