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Master Recherche 2010-2011    en

- Groupe de cours "Géométrie algébrique"
- Groupe de cours "Géométrie Symplectique"
- Groupe de cours "Systèmes Dynamiques en Arithmétique et en Analyse"

Groupe de cours "Géométrie Algébrique"

La géométrie algébrique est l’étude du lieu des zéros communs d’une ou plusieurs équations polynomiales. L’attrait qu’exercent ces objets sur les mathématiciens depuis l’Antiquité grecque s’est renouvelé au XXéme siecle avec leur géométrisation, donnant lieu à des résultats spectaculaires comme par exemple la classification des surfaces algébriques. Ce cours présentera des outils algébriques, analytiques et géométriques servant à l’étude de ces objets.

Le bloc Géométrie Algébrique Complexe est composé de quatre cours :

Deux cours fondamentaux :
- Courbes algébriques singulières (V. Blanlœil)
- Introduction à la géométrie algébrique complexe (E. Rousseau)

Ces cours permettront aux étudiants de se familiariser avec les outils de base de la géométrie algébrique : courbes algébriques, variétés algébriques, fibrés vectoriels, faisceaux, diviseurs, homologie, cohomologie ... Les aspects théoriques seront illustrés par des exemples explicites de courbes algébriques planes, de courbes gauches dans l’espace projectif, d’espaces projectif, de grassmanniennes etc. Ceci afin que les étudiants puissent maîtriser les outils et les théorèmes à la base de la géométrie algébrique.

Deux cours spécialisés :
- Classification des surfaces algébriques : Point de vue classique et théorie de Mori (G. Pacienza)
- Introduction à la géométrie arithmétique sur les corps des fonctions (C. Gasbarri)

Ces cours présenteront deux aspects avancés de la géométrie algébrique. D’une part le problème de la classification des surfaces algébriques et d’autre part le problème de la résolution des systèmes d’équations diophantiennes sur les corps de fonctions. Les théorèmes vus au premier semestre permettront d’aborder plus rapidement des thèmes de recherche actuels. On privilégiera la présentation de problèmes ouverts et de résultats très récents.

Semaine spéciale

En complément du groupe de cours Géométrie Algébrique Complexe, on organisera une semaine spéciale sur le thème de la géométrie algébrique complexe. Cette semaine s’articulera sur plusieurs mini-cours, assurés pas des spécialistes en géométrie algébrique complexe, sur des thèmes d’actualité. On fera aussi appel à quelques conférenciers pour des exposés sur leurs travaux de recherche récents.


Groupe de cours " Géométrie Symplectique"

Le but de la formation est de donner aux étudiants les connaissances nécessaires pour aborder un sujet de recherche dans l’un des domaines suivants : géométrie symplectique et de contact, espaces de modules, quantification, théories des champs.

Ce bloc est constitué de quatre cours :

Deux cours fondamentaux
- Introduction à la géométrie symplectique et de contact (M. Audin)
- Opérateurs différentiels elliptiques. Théorème de Riemann-Roch (A. Oancea)

Les deux cours fondamentaux peuvent être intéressants pour des étudiants ayant choisi un autre bloc. La géométrie symplectique est un sujet de grande actualité, ayant des interactions spectaculaires avec la physique mathématique, la géométrie algébrique, ou encore la topologie des basses dimensions. Les opérateurs différentiels elliptiques sur des variétés sont des outils classiques qui traversent l’ensemble de la géométrie, de la théorie de Hodge aux théories de jauge, en passant par les géométries riemannienne et symplectique.

Deux cours spécialisés
- Homologie de Floer (M. Damian)
- Théorie des champs (V. Fock)

Les cours spécialisés mènent vers des thèmes de recherche actuels. L’homologie de Floer est l’une des constructions les plus spectaculaires qui soient apparues en géométrie pendant les vingt dernières années, avec des ramifications en topologie symplectique, topologie des petites dimensions, théorie des nœuds, théories de jauge, géométrie algébrique, symétrie miroir. Les théories des champs constituent un paradigme unificateur dans les mathématiques d’aujourd’hui.


Groupe de cours "Systèmes Dynamiques en Arithmétique et en Analyse"

Etant donnés un ensemble X et une transformation \tau: X\to X, que peut-on dire de la suite \tau^n (x), où\tau^n désigne la n-ième itérée de \tau ? La théorie ergodique est l’étude des propriétés des itérés de \tau, et notamment du comportement des sommes \sum_{k=0}^{n-1}a_k f\circ\tau^k(x), lorsque f décrit une classe de fonctions, un espace L^p par exemple.
Bien que de nombreuses méthodes élaborées dans le cadre de cette théorie s’appliquent pour X assez général, très souvent et notamment dans les problèmes étudiés, X
est le cercle \T=[0,1)=\R/\Z. Nous traiterons alors plus particulièrement le cas où\tau est donnée par \tau(x) = ax + b, avec
a et b des nombres réels, a \ge 1. Si a=1, alors l’application \tau est une rotation
du cercle. Si a > 1 et b = 0, alors notre objet d’étude est la suite des parties
fractionnaires des puissances entières de a, qui constitue un problème célèbre en théorie des nombres.

Ce groupe de cours est composé de :

Deux cours fondamentaux :
- Equirépartition modulo 1 et approximation diophantienne (Yann Bugeaud)
- Introduction à la théorie ergodique (Michel Weber)

Le premier cours fondamental présentera des théorèmes classiques d’équirépartition modulo 1 et des résultats récents sur la répartition modulo 1 des suites (x a^n)_{n \ge 0}, où x et a sont des nombres réels positifs, a > 1. Le second cours est un cours d’analyse. Les outils et résultats classiques de la théorie ergodique y sont présentés et étudiés.

Deux cours spécialisés :
- Systèmes dynamiques, substitutions, et fractions continues (Nicolas Chevallier)
- Convergence et divergence en analyse et en théorie ergodique (Michel Weber)

Le premier cours spécialisé étudiera de manière plus approfondie le cas des rotations irrationnelles et des systèmes dynamiques symboliques associés, lesquelles constituent des exemples fondamentaux de la théorie ergodique. Le second cours sera consacré à des problèmes plus spécifiques (moyennes et séries ergodiques pondérées, séries de —Fourier, séries de Dirichlet) et présentera les méthodes, parfois très récentes, élaborées pour leur étude.

Dernière mise à jour le 3-11-2011