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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2009-2010 > Cobordisme complexe et groupes formels

Cobordisme complexe et groupes formels

Hans-Werner Henn

La théorie du cobordisme complexe est une théorie d’homologie généralisée qui est munie d’une orientation complexe canonique. A une telle théorie est associée une loi de groupe formel. Dans les années 70 Quillen a démontré que la loi de groupe formel associée à l’orientation canonique de cobordisme complexe est universelle. Ce lien étonnant entre la topologie algébrique et l’arithmétique est la source principale de presque tous les progrès dans la théorie d’homotopie stable depuis cette époque.

Le cours commence avec une discussion des classes caractéristiques pour une théorie d’homologie munie d’une orientation complexe et de la loi de groupe formel associée. On présentera le théorème de Quillen et on construira la suite spectrale d’Adams-Novikov. Cette première partie du cours est étroitement liée au cours “Introduction à l’homotopie stable” qui aura lieu en parallèle. Dans une deuxième partie on développera des aspects algébriques de la suite spectrale d’Adams-Novikov. Si le temps le permet on présentera encore la théorie de déformations de lois de groupes formels ou des éléments des travaux très récents de Hopkins et ses collaborateurs sur les formes modulaires topologiques.

Programme :

Première partie :
- 1.1. Théories d’homologie généralisée munies d’une orientation complexe
- 1.2. Loi de groupes formels. Théorème de Lazard. L’algébroïde de Hopf FGL des lois des groupes formels et le champs associé.
- 1.3 L’algébroïde de Hopf associée à un spectre en anneaux plat. Théorème de Quillen.
- 1.4 La suite spectrale d’Adams-Novikov et la cohomologie de l’algébroïde de Hopf FGL.

Deuxième partie : (on traitera quelques-uns des sujets suivants)
- 2.1. Idéaux premiers invariants dans l’anneau de Lazard. La filtration chromatique de la cohomologie de FGL.
- 2.2. La hauteur d’une loi de groupe formel sur un corps de caractéristique positive. Groupes de Morava et l’isomorphisme de Morava.
- 2.3. L’image de J dans la suite spectrale d’Adams-Novikov.
- 2.4. Théorème déxactitude de Landweber
- 2.5. L’algébroïde de Hopf des courbes deWeierstrass et introduction à la théorie TMF des formes modulaires topologiques.
- 2.6. Déformations des lois de groupes formels de hauteur finie.

Prérequis :

Introduction à la topologie algébrique, classes caractéristiques. La première partie du cours étant
étroitement reliée à l’homotopie stable il est vivement conseillé de suivre en parallèle le cours "Introduction à l’homotopie stable".

Bibliographie :

- J.F. Adams, Stable homotopy and generalized homology, Chicago Lectures in Mathematics 1974
- M. Hazewinkel, Formal Groups and Appliciations, Academic Press 1978
- D. Ravenel, Complex Cobordism and stable homotopy groups of spheres, Academic Press 1986, deuxième édition, AMS Chelsea Publishing, Providence, 2004, disponible à la page web de Ravenel
D. Ravenel, Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory, Princeton University Press 1992

Dernière mise à jour le 2-03-2009