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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2009-2010 > Introduction à l’homotopie stable

Introduction à l’homotopie stable

Geoffrey Powell

La théorie de l’homotopie stable donne le cadre naturel pour l’étude des théories d’homologie généralisées. Autrement dit, la théorie de l’homotopie stable étudie les propriétés homotopiques des espaces pointés qui sont invariants par le foncteur de suspension. Le théorème de représentabilité de Brown nous assure que toute théorie de cohomologie généralisée est représentée par un spectre, cést à dire un objet de la catégorie d’homotopie stable.

Le cours commencera par la construction de la catégorie d’homotopie stable et l’étude de ses propriétés de base. La deuxième partie du cours a pour but la construction et l’étude du spectre de Thom, MU, qui représente la théorie de cobordisme complexe. Le cours se terminera par le calcul des groupes d’homotopie \pi_* MU, à l’aide de la suite spectrale d’Adams, un outil fondamental de la théorie d’homotopie stable.

Le cours ”Cobordisme complexe et groupes formels” développera les aspects algébriques de la théorie du cobordisme complexe, et ses applications à la théorie d’homotopie stable.

Programme :

1.1 Spectres et la catégorie d’homotopie stable
1.2 Structure de la catégorie d’homotopie stable : suites cofibres (triangles distingués) et le smash produit (au sens naïf)
1.3 Théories d’homologie et de cohomologie associées à un spectre
1.4 Spectres en anneaux et spectres en modules : les produits induits

2.1 Spectres de Thom : le spectre MU de cobordisme complexe
2.2 L’algèbre de Steenrod
2.3 La suite spectrale d’Adams et le calcul de MU_*.

Prérequis :

Introduction à la topologie algébrique (en particulier les notions de suspension, cofibration et de produit smash), fibrés vectoriels, le théorème d’isomorphisme de Thom. Il est vivement conseillé de suivre en parallèle le cours ”Cobordisme complexe et groupes formels”, qui donne des applications importantes de la théorie d’homotopie stable et notamment du cobordisme complexe.

Bibliographie :

- J.F. Adams, Stable homotopy and generalized homology, Chicago Lectures in Mathematics 1974
- D. Ravenel, Complex Cobordism and stable homotopy groups of spheres, Academic Press 1986, deuxième édition, AMS Chelsea Publishing, Providence, 2004, disponible à la page web de Ravenel
- D. Ravenel, Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory, Princeton University Press 1992
- Y. Rudyak, Thom spectra and Orientations, Springer Verlag 1998
- R.M. Switzer, Algebraic topology - Homotopy and Homology, Springer Verlag 1975

Dernière mise à jour le 2-03-2009