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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2009-2010 > Equations différentielles linéaires algébriques

Equations différentielles linéaires algébriques

Claude Sabbah

Cours spécialisé du bloc "Equations différentielles complexes".

Dans le domaine complexe, on analyse le comportement des solutions des équations différentielles linéaires d’une part au voisinage de leurs singularités (théorie asymptotique) et d’autre part d’un point de vue global (monodromie). Ce dernier conduit à adopter les outils de la géométrie, algébrique et différentielle, afin de caractériser les propriétés des solutions de l’équation différentielle, qui sont alors considérées dans leur ensemble, et non individuellement.
Le cours abordera quelques théorèmes globaux, comme le problème de Riemann-Hilbert et le problème de Birkhoff, qui jouent sur les rapports local/global, et aboutira aux questions liées aux déformations isomonodromiques des équations différentielles linéaires. On s’appuiera partiellement sur les résultats démontrés dans le cours de R. Schäfke.

Les thèmes du cours seront :

- Equations différentielles et systèmes différentiels algébriques d’une variable complexe
- Réseaux des systèmes différentiels
- [Langage des fibrés vectoriels à connexion méromorphe]
- Problème de Riemann-Hilbert et problème de Birkhoff
- Transformation de Laplace des systèmes différentiels algébriques
- Rigidité

Thèmes d’ouverture (susceptibles de fournir des sujets de mémoire) :

- D-modules
- Equations différentielles linéaires p-adiques
- Equations de Painlevé
- Variétés de Frobenius et symétrie miroir
- Théorie de Hodge non commutative
- Transformation de Laplace et algorithme de Katz

Bibliographie :

- Anosov/Bolibruch, The Riemann-Hilbert problem, Aspects of mathematics, vol. 22, Vieweg, 1994.
- Iwasaki/Kimura/Shimomura/Yoshida, From Gauss to Painlevé : a modern theory of special functions, Aspects of mathematics, vol. 16, Vieweg, 1991.
- Katz, Rigid local systems, Ann. of Math. studies, vol. 139, Princeton University Press, 1996.
- B. Malgrange, Equations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Math., vol. 96, Birkhäuser, 1991.
- C. Sabbah, Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, EDP Sciences, 2002.

Dernière mise à jour le 24-02-2009