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Théorie analytique des équations différentielles singulièrement perturbées

Augustin Fruchard

Cours fondamental du bloc "Equations différentielles complexes".

Une équation différentielle ordinaire dépendant d’un petit paramètre epsilon est dite singulièrement perturbée lorsque ce paramètre est en facteur de la dérivée d’ordre le plus élevé, si bien que l’ordre de l’équation diminue quand epsilon tend vers 0. La dépendance des solutions par rapport au paramètre n’est alors pas toujours régulière. Ces équations se rencontrent très souvent en physique, en chimie ou en biologie, dans des situations où il y a plusieurs échelles de temps.
Le but du cours est d’exposer les méthodes d’analyse réelle et complexe dans la résolution de problèmes réels d’ équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées.
Dans un premier temps, nous présenterons brièvement la théorie de la perturbation régulière, puis nous présenterons le problème de la résonance d’Ackerberg-O’Malley et les canards de l’équation de van der Pol forcée. Nous développerons les outils de perturbation singulière, d’une part réelle (théorème de Tikhonov) et d’autre part complexe qui permettent de résoudre ces problèmes.
Certains des outils présentés dans le cours de R. Schäfke, comme les développements asymptotiques Gevrey, seront réutilisés ici.

Plan du cours :

- 1. Introduction aux perturbations régulières
- 2. Quelques problèmes réels de perturbation singulière
- 3. Champs lents-rapides réels : théorie de Tikhonov
- 4. Champs lents-rapides complexes : théorèmes d’existence et de proximité exponentielle
- 5. Approximation de Liouville-Green et théorie WKB
- 6. Etude Gevrey de la surstabilité ; application au problème de la résonance et aux canards

Bibliographie :

- M. Canalis-Durand, J.-P. Ramis, R. Schäfke, Y. Sibuya, Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations, J. Reine Angew. Math. 518 (2000), 95-129.
- J.-L. Callot, Champs lents-rapides complexes à une dimension lente, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 4e Série, t. 26 (1993) 149-173.
- A. Fruchard, R. Schäfke, Exceptional complex solutions of the forced van der Pol equation, Funkcialaj Ekvacioj, 42, 2 (1999) 201-223.
- A. Fruchard, R. Schäfke, Overstability and resonance, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 53, 1 (2003) 227-264.
- P. F. Hsieh, Y. Sibuya, Basic theory of ordinary differential equations Universitext Springer-Verlag, New York, 1999.
- C. Stenger, Points tournants de systèmes d’équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées, thèse, prépublication IRMA, 1999.
- W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, New York, 1965.

Dernière mise à jour le 24-02-2009