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Singularités d’équations différentielles ordinaires dans le champ complexe

Reinhard Schäfke

Cours fondamental du bloc "Equations différentielles complexes".

Pour l’étude du comportement local des solutions d’équations différentielles ordinaires dans le champs complexe, il faut en particulier étudier les voisinages de leurs points singuliers.

Ce cours présente les théories analytiques classiques et plus récentes dans ce sujet et des liens à la théorie des feuilletages et à la théorie des perturbations singulières.

Un thème central sera le phénomène de Stokes pour les singularités irrégulières et sa connexion avec la théorie de la sommabilité.
Dans le dernier chapitre nous construirons des équations différentielles (linéaires et non linéaires) à phénomène de Stokes prescrit.

Plan du cours :

- 1. Propriétés de base des équations différentielles ordinaires dans le champ complexe
- 2. Développements asymptotiques ordinaires et Gevrey, resommation Borel-Laplace et introduction à la multisommabilité
- 3. Classification des singularités d’équations différentielles ordinaires
- 4. Phénomènes de Stokes linéaires et non linéaires
- 5. Problèmes inverses

Bibliographie :

-  W. Balser, Formal power series and linear meromorphic differential equations, Universitext, Springer, New York, 2000.
-  P. F. Hsieh, Y. Sibuya, Basic theory of ordinary differential equations, Universitext, Springer, New York, 1999.
-  J. Martinet, J.-P. Ramis, Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16,4 (1983), 571—621.
-  J. Martinet, J.-P. Ramis, Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 55 (1982), 63—164.
-  F.W.J. Olver, Asymptotics and special functions. Academic Press, New York-London, 1974.
-  W. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, New York, 1965.

Dernière mise à jour le 24-02-2009