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Master Recherche 2009-2010

Le programme détaillé est également disponible sur ce site.

Groupe de cours "Equations différentielles complexes"

L’objectif est de présenter des outils algébriques, analytiques et géométriques servant à l’étude des équations différentielles ordinaires, en particulier dans le champ complexe. Nous étudierons d’une part les singularités des équations, d’autre part la dépendance de paramètres (perturbation singulière).

Le premier cours fondamental présente des résultats d’existence et des propriétés de base des solutions, ainsi que des outils d’analyse asymptotique (théorie Gevrey, sommabilité) servant aux autres cours. Ce cours présente aussi un premier problème inverse local.
Le cours avancé sur les équations linéaires algébriques présente une étude globale d’une grande classe d’équations différentielles ordinaires. Entre autres, les problèmes inverses globaux (Riemann-Hilbert et Birkhoff)

Le deuxième cours fondamental est une introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires dépendant singulièrement d’un paramètre. La théorie est développée d’abord lorsque la variable indépendante est réelle, puis lorsqu’elle est complexe. Les deux théories, de la perturbation singulière d’une part et des points singuliers d’autre part, présentent de nombreuses et profondes analogies. En particulier la théorie Gevrey introduite dans le premier cours fondamental sera mise en œuvre ici.
Dans le deuxième cours avancé, nous regarderons les équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées d’un point de vue géométrique, ce qui permettra d’interpréter différemment les résultats de la théorie classique. Ceci complète et approfondit l’étude de ce type d’équations.

Cours fondamentaux :

Singularités d’équations différentielles ordinaires dans le champ complexe (Reinhard Schäfke)

Théorie analytique des équations différentielles singulièrement perturbées (Augustin Fruchard)

Cours spécialisés :

Equations différentielles linéaires algébriques (Claude Sabbah)

Théorie géométrique des équations différentielles singulièrement perturbées (Daniel Panazzolo)

Groupes de cours "Topologie algébrique"

La topologie algébrique est l’étude des espaces topologiques à l’aide de moyens algébriques. Plus précisément, on développe des outils permettant de transformer des problèmes topologiques en problèmes discrets ou algébriques qui sont souvent plus faciles à résoudre. Par exemple, les surfaces compactes orientables sans bord sont déterminées par leur caractéristique d’Euler.

Cette formation propose deux cours fondamentaux et deux cours spécialisés.

Le cours fondamental “Introduction à la topologie algébrique” présentera les outils classiques de la théorie : la (co)homologie singulière et l’homotopie. Dans le cours fondamental “Classes caractéristiques” on étudiera, à l’aide de ces outils, certains invariants cohomologiques des fibrés vectoriels, invariants qui jouent un rôle important dans l’étude des variétés. Les deux cours sont destinés à donner une formation de base utile à tout étudiant de M2.

Le premier cours spécialisé “Introduction à l’homotopie stable” présentera le monde des spectres et des théories d’homologie généralisées. Il aura pour but de déterminer l’anneau de cobordisme, point de départ de la plupart des développements modernes en homotopie stable. Le second cours spécialisé “Cobordisme complexe et groupes formels” introduira la suite spectrale d’Adams-Novikov et étudiera certaines propriétés algébriques de la théorie du cobordisme, en particulier les liens avec les groupes formels.

Les cours spécialisés s’appuieront sur les deux cours fondamentaux, et sont intimement liés.

Cours fondamentaux :

Introduction à la topologie algébrique (Gaël Collinet et Pierre Guillot)

Classes caractéristiques (Hans-Werner Henn et Christine Vespa)

Cours spécialisés :

Introduction à l’homotopie stable (Geoffrey Powell)

Cobordisme complexe et groupes formels (Hans-Werner Henn)

Groupe de cours “Théorie et approximation des équations aux dérivées partielles”

Cete formation propose deux cours fondamentaux et deux cours spécialisés.
L’objectif est de présenter quelques outils théoriques et numériques pour
l’approximation des lois de conservation de la physique.

Le premier cours fondamental est une introduction à la théorie des systèmes hyperboliques du premier ordre. Il contiendra aussi une initiation aux méthodes de contrôle et d’observabilité de ces systèmes. Le second cours fondamental porte sur l’analyse convexe en mettant l’accent sur la transformée de Legendre-Fenchel, qui est un outil théorique mais aussi numérique pour l’étude des équations aux dérivées partielles.

Les deux cours spécialisés concernent plus directement les méthodes numériques pour l’approximation et la simulation des équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides. Le modèle de Navier-Stokes, qui est un modèle fluide du second ordre, est exploré dans le premier cours. Le second cours présente des méthodes numériques pour le modèle cinétique de Vlasov-Maxwell pour les plasmas.

Cours fondamentaux :

Contrôlabilité et observabilité de système hyperboliques du premier ordre (Bopeng Rao)

Transformée de Legendre : théorie et applications (Philippe Helluy)

Cours spécialisés :

Méthodes numériques pour les équations de Navier-Stokes (Cornel Murea)

Approximation numérique des équations de Vlasov-Maxwell (Eric Sonnendrücker)

Dernière mise à jour le 6-06-2013