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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Groupes de tresses et groupes quantiques

Groupes de tresses et groupes quantiques

Benjamin Enriquez

Durée : 25 heures

Les groupes de tresses peuvent être vus comme les groupes fondamentaux
d’espaces de configurations de points dans le plan. D’autre part, les
algèbres de Hopf sont des "objets groupes" de la géométrie non
commutative. Une certaine classe d’algèbres de Hopf, les groupes
quantiques, ont un lien étroit avec les groupes de tresses. Le but de
ce cours sera d’exposer le théorème de Kohno-Drinfeld qui fait le lien
entre
(a) certaines représentations des groupes des tresses construites à
partir de systèmes différentiels sur les espaces de configurations, et
(b) les représentations de groupes quantiques associés à des algèbres
de Lie simples.
Si le temps le permet, on abordera la démonstration, à l’aide des mêmes
systèmes differentiels, de la 1-formalité des groupes des tresses.

Programme (à titre indicatif)

I.

- Algèbres de Hopf. Exemples : algèbre de groupe kG, fonctions
algébriques k[G], algèbre enveloppante U(g). Exemples de groupes
quantiques : U_q(g) pour g = sl_n. Représentations de U_q(sl_2) ;
éventuellement de U_q(g)
- Groupe des tresses, présentation ; groupe des tresses pures,
présentation d’Artin : rappels du cours de F. Costantino et G. Massuyeau
- Représentations de B_n associées à une algèbre de Hopf
quasitriangulaire
- Algèbres quasi-Hopf, twists. Représentations de B_n associées
- Systèmes différentiels de Knizhnik-Zamolodchikov
- Théorème de Kohno-Drinfeld : la représentation d’holonomie du
système KZ se calcule via les groupes quantiques. Idée de démonstration
pour g = sl_2

II.

- Algèbres de Lie (pro)nilpotentes, groupes de Lie
(pro)nilpotents. Correspondance entre ces objets. Complétions de Malcev
des groupes de type fini. Construction de Quillen de ces complétions.
1-formalité. Complétions relatives.
- Algèbre des tresses infinitésimales, version universelle du
système différentiel KZ
- Démonstration de la 1-formalité du groupe des tresses

Bibliographie
- C. Kassel, "Quantum Groups", Graduate Texts in Mathematics, 155,
Springer-Verlag, 1995.
- V. Chari et A. Pressley, "A guide to quantum groups". Cambridge
University Press, Cambridge, 1995.
- P. Etingof, I. Frenkel, A. Kirillov, Jr., "Lectures on representation
theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations". Mathematical Surveys and
Monographs, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.
- P. Etingof, O. Schiffmann, "Lectures on quantum groups". Lectures in
Mathematical Physics. International Press, Boston, MA, 1998.
- J. Amorós, M. Burger, K. Corlette, D. Kotschick, D. Toledo,
"Fundamental groups of compact Kähler manifolds". Mathematical Surveys
and Monographs, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

Dernière mise à jour le 31-03-2008