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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Algèbres de Hecke et applications

Algèbres de Hecke et applications

Christian Kassel

Durée : 25 heures

Les algèbres de Hecke sont des algèbres associatives de dimension finie
qui interviennent en arithmétique, en théorie des groupes et en
topologie. Comme ce sont des déformations des algèbres des groupes
symétriques, on peut facilement déterminer toutes leurs
représentations. Ainsi que l’a noté Vaughan Jones en 1983 lorsqu’il a
construit son fameux invariant des noeuds, ces représentations
induisent des représentations des groupes de tresses. Dans ce cours,
nous donnons la structure de ces algèbres et construisons leurs
représentations. En application, nous donnons une construction du
polynôme de Jones et du polynôme HOMFLY qui en est une généralisation à
deux variables. La fin du cours sera consacrée à une famille d’algèbres
introduites par les physiciens Temperley et Lieb et également liées à
l’invariant de Jones.

Programme

I. Structure des algèbres de Hecke

- Groupes symétriques : décomposition réduite, longueur, théorème de
Tits-Matsumoto
- Définition des algèbres de Hecke
- Rapport avec les groupes de tresses et les groupes symétriques
- Base et structure
- Trace d’Ocneanu
- Application à la construction de l’invariant de Jones et du polynôme
HOMFLY

II. Représentations

- Algèbres semi-simples de dimension finie : rappels du cours de P.
Baumann
- Combinatoire des partitions et des tableaux de Young
- Construction de représentations à l’aide de tableaux
- Classification des représentations irréductibles
- Irréductibilité de la représentation de Burau des groupes de tresses

III. Algèbres de Temperley-Lieb

- Définition et base
- Représentation graphique
- Rapport avec les algèbres de Hecke
- Représentations

Bibliographie

- W. Fulton, "Young tableaux. With applications to representation
theory and geometry", London Mathematical Society Student Texts, 35,
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
- D. M. Goldschmidt, "Group characters, symmetric functions, and the
Hecke algebras", Univ. Lect. Series, vol. 4, Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 1993.
- F. M. Goodman, P. de la Harpe, V. F. R. Jones, "Coxeter graphs and
towers of algebras", MSRI Publ., vol. 14, Springer-Verlag, New York,
1989.
- C. Kassel, V. Turaev, "Braid groups", Graduate Texts in Mathematics,
Springer-Verlag, New York, (338 p.+xii), 2008.
- A. Mathas, "Iwahori-Hecke algebras and Schur algebras of the
symmetric group", Univ. Lect. Series, vol. 15, Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 1999.

Dernière mise à jour le 31-03-2008