Partenaires

Logo IRMA
Logo CNRS
Logo UDS


Rechercher

Sur ce site

 
 IRMA, UMR 7501
 7 rue René-Descartes
 67084 Strasbourg Cedex
 Tél. 33 (0)3 68 85 01 29
 Fax. 33 (0)3 68 85 03 28

Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Noeuds, tresses et leurs invariants

Noeuds, tresses et leurs invariants

François Costantino - Gwénaël Massuyeau

Durée : 35 heures

Ce cours fondamental propose une introduction à la théorie des noeuds
et au groupe des tresses, et servira de préambule topologique aux cours
de C. Kassel et de B. Enriquez.

Après quelques rappels de topologie algébrique, nous présenterons les
noeuds - i.e. les plongements du cercle dans R3, considérés à
déformation près - et nous rendrons compte de la nécessité de définir
des invariants pour distinguer les noeuds entre eux. Nous étudierons
notamment le polynôme d’Alexander, invariant "classique" des noeuds
découvert en 1923, et le polynôme de Jones qui, depuis sa découverte en
1983, n’a toujours pas livré sa signification topologique.

Puis, le groupe des tresses sera introduit et quelques unes de ses
représentations seront définies par la théorie des revêtements et
l’homologie. Les tresses se referment pour donner des noeuds : c’est
ainsi que nous retrouverons le polynôme d’Alexander dans la
représentation de Burau, tandis que la représentation de
Lawrence-Krammer-Bigelow nous rendra le polynôme de Jones.

Programme (à titre indicatif) :

I. Quelques rappels de topologie algébrique

- Groupe fondamental
- Homologie
- Théorème de Hurewicz
- Théorie des revêtements
- Compléments : calcul différentiel libre de Fox

II. Noeuds et leurs invariants classiques

- Noeuds et entrelacs
- Isotopie et isotopie ambiante
- Diagrammes de noeuds et théorème de Reidemeister
- Groupe fondamental d’un noeud et théorème de Wirtinger
- Surface de Seifert et forme de Seifert
- Concordance et signature

III. Invariants polynomiaux des noeuds

- Polynôme d’Alexander, défini via l’homologie du revêtement abélien
maximal
- Calcul du polynôme d’Alexander : via la forme de Seifert et via la
présentation de Wirtinger
- Relation "skein" de Conway
- Polynôme de Jones, défini via le crochet de Kauffman
- Alexander vs Jones : le polynôme de HOMFLY

IV. Groupe des tresses

- Groupe des tresses
- Représentation dans le groupe symétrique, groupe des tresses pures
- Théorème d’Artin
- Théorème d’Alexander et théorème de Markov

V. Représentations homologiques du groupe des tresses

- Représentation d’Artin
- Représentation de Magnus du groupe des automorphismes du groupe libre
- Représentation de Burau : polynôme d’Alexander d’une tresse fermée
- Representation de Lawrence-Krammer-Bigelow : polynôme de Jones d’une
tresse fermée

Bibliographie

- J. Birman, "Braids, links, and mapping class groups." Annals of
Mathematics Studies, No. 82. Princeton University Press, Princeton,
N.J. ; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. ix+228 pp.
- G. Bredon, "Topology and geometry." Graduate Texts in Mathematics,
139. Springer-Verlag, New York, 1993. xiv+557 pp.
- A. Hatcher, "Algebraic topology." Cambridge University Press,
Cambridge, 2002. xii+544 pp.
- C. Kassel, V. Turaev, "Braid groups." Graduate Texts in Mathematics,
Springer-Verlag, New York, (338 p.+xii), 2008.
- D. Rolfsen, "Knots and links." Mathematics Lecture Series, No. 7.
Publish or Perish, Inc., Berkeley, Calif., 1976. ix+439 pp.

Dernière mise à jour le 1er-04-2008