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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Introduction à la théorie des représentations

Introduction à la théorie des représentations

Pierre Baumann

Un groupe n’existe qu’à travers ses actions. L’étude des actions
linéaires des groupes sur les espaces vectoriels est appelée théorie
des représentations. Fondée par Frobenius à la toute fin du XIXè
siècle, puis développée par
Burnside, Brauer, E. Noether, Weyl, etc., la théorie des
représentations est un ingrédient essentiel de la plupart des résultats
profonds de la théorie des groupes. Parallèlement, son langage est
devenu plus abstrait au fur et à mesure de l’élargissement de son champ
d’application. La théorie est aujourd’hui un domaine très ramifié des
mathématiques, qui ne concerne plus seulement les groupes, et dont les
méthodes sont très variées.

Ce cours fondamental présentera le langage des modules sur un anneau,
vu comme le langage de base de la théorie des représentations. Il
insistera sur le cas des anneaux et algèbres semi-simples, afin de
fournir le cadre adéquat au cours de C. Kassel sur les algèbres de
Hecke. La théorie des caractères (directement issue des travaux de
Frobenius) sera ensuite
exposée. La présentation du cadre des groupes et algèbres de Lie
achèverace cours d’introduction et servirade point d’entrée au cours de
B. Enriquez sur les groupes de tresses et les groupes quantiques.

Certains paragraphes du programme proposé ci-dessous (notamment ceux
repérés par un astérisque) pourront être avantageusement traités par
les étudiants dans le cadre d’un groupe de travail.

Programme (à titre indicatif)

I. Modules sur un anneau

- Homomorphismes, produits et sommes, limites inductives et projectives.
- Noyau, image, suites exactes, extensions, modules injectifs et
projectifs.
- Modules artiniens et noethériens, modules simples, modules
indécomposables.
- Modules complètement réductibles, théorème de densité
(Jacobson-Bourbaki).
- Produit tensoriel.

II. Théorie élémentaire des anneaux

- Radical de Jacobson, anneaux semi-simples artiniens, théorème de
Wedderburn-Artin.
- Algèbres séparables, théorème de Wedderburn-Malcev.
- Algèbres simples centrales, théorème de Skolem-Noether, groupe de
Brauer.

III. Représentations des groupes

- Définitions, coefficients et caractères, lambda-anneau des
représentations.
- Représentations complexes continues d’un groupe fini ou compact
(théorie de Peter-Weyl).
- Restriction, (co)induction, réciprocité de Frobenius, théorèmes de
Mackey.
- Questions de rationalité.
- Représentations projectives.

IV. Algèbres de Lie
- Définitions, morphismes, représentations, lien entre un groupe de Lie
et son algèbre de Lie.
- Algèbres enveloppantes, théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt.
- Théorèmes de structure en caractéristique zéro.

V. Groupes classiques

- Réduction à un sous-groupe compact maximal (pour un groupe réductif
complexe).
- Représentations d’un tore.
- Représentations de GL_n(C) et de U(n) : caractères des
représentations (rationnelles) irréductibles, notion de vecteur de plus
haut poids.
- Représentations des groupes classiques, algèbre de Clifford, algèbre
de Weyl.
- Sur l’exemple de GL_n : décompositions de Cartan, d’Iwasawa et de
Bruhat.

Bibliographie
- N. Jacobson, Basic algebra II, W. H. Freeman and Company, 1989.
- C. W. Curtis et I. Reiner, Methods of representation theory,
Wiley-Interscience, 1981-87.
- R. Mneimné et F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de lie
classiques, Hermann, 1986.
- D. Bump, Lie groups, Graduate Texts in Mathematics vol. 225,
Springer-Verlag, 2004.

Dernière mise à jour le 31-03-2008