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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Introduction aux déformations de représentations (galoisiennes)

Introduction aux déformations de représentations (galoisiennes)

Henri Carayol

Les anneaux de déformations de représentations galoisiennes
avaient été considérées par B. Mazur dès le début des années 80.
Dix ans plus tard ces anneaux ont constitué l’un des ingrédients
essentiels de la preuve par Taylor et Wiles de la conjecture de
Taniyama-Weil. Leur étude s’est depuis lors encore
considérablement développée, accompagnant les avancées
spectaculaires de la théorie initiée par Taylor-Wiles.

Il s’agit d’objets dont la définition est assez élémentaire et ne
nécessite pas de grandes connaissances en arithmétique : on part
d’un groupe profini G et d’une représentation r de G à
valeurs dans un corps fini k ; on regarde alors les déformations de
r sur des anneaux locaux artiniens A de corps résiduel k.
Sous des hypothèses raisonnables le problème de déformation ainsi
défini est pro-représentable par un anneau R.

L’objet du cours est de donner une introduction élémentaire à
cette théorie : il s’agit de définir l’anneau R et d’établir son
existence, de vérifier certaines de ses propriétés et de donner
des exemples divers dans le cas de groupes de Galois locaux et
globaux. Bien que l’exposé des méthodes de Taylor-Wiles soit hors
de portée de ce cours j’essaierai de donner une idée intuitive du
type de résultats que l’on espére obtenir (des théorèmes "R=T").

Programme (à titre indicatif)

- Problèmes de déformations et leur représentabilité. Un peu
d’algèbre commutative, espace tangent, points sur les nombres
duaux, questions de lisseté.
- Groupes profinis et le problème de déformation considéré.
- Preuve dans ce cas du théorème de représentabilité ; plutôt que la
méthode originelle de Mazur qui reposait sur le critère de
Schlessinger on suivra la méthode plus explicite dévelopée par
exemple dans (1).
- Liens avec le H1 et le H2.
- Exemples divers, le cas des groupes de Galois locaux et globaux.
Anneaux de déformations avec des conditions locales imposées.
Quelques exemples explicites.

Bibliographie

- DE SMIT et LENSTRA, Explicit construction of universal
deformations rings ; dans : Modular forms and Fermat’s last theorem
(Cornell, Silverman, stevens, 1977).
- B. MAZUR, Deforming Galois representations ; dans : Galois
groups over Q (Ihara, Ribet, Serre, 1989).
- J. TILOUINE, Deformations of Galois representations and Hecke
algebras, Metha res. Inst. Bombay Madras New Dehli 1996.

Dernière mise à jour le 31-03-2008