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Probabilité de ruine par les distributions de phase, d’après Gherber-Shiu

Karl-Theodor Eisele

Durée : 25 heures.

Prérequis

Des connaissances de base sur le générateur et le comportement d’un
processus de Markov à temps continu, par exemple le début du cours de 1er trimestre de techniques markoviennes.

Contenu résumé

La première partie du cours traite des variables de phase. Elles sont
décrites par les processus de Markov homogènes ayant un état (ou un sous-ensemble d’états) absorbant et attractif. Leurs distributions, qui sont faiblement denses parmi les distributions sur la demi-droite positive, donnent lieu à une théorie très riche qui fournit des expressions explicites. En particulier, l’ensemble des distributions de phase est fermé par opérations convexes, par convolutions et compositions (variables composées). Les fonctions génératrices de telles variables sont rationnelles.

Dans la deuxième partie du cours, cette théorie sera appliquée au calcul de la
probabilité de ruine, sous une forme généralisée. Le problème des probabilités de ruine dans les assurances non-vie a été étudié pour la première fois par F. Lundberg, il y a environ un siècle. La question de la ruine des banques et des assurances est de nouveau à l’ordre du jour en raison des projets actuels de solvabilité.

Ces dernières années, H. Gerber et E. Shiu ont redonné vie au problème de
Lundberg en étudiant une fonction, dite fonction de Gerber-Shiu, qui généralise le problème de la probabilité de ruine. Dans ce contexte, les variables de phase s’avèrent très fructueuses. Elles permettent de généraliser l’ancienne équation de Lundberg, dont les racines forment le spectre d’un opérateur qui est une perturbation nonlinéaire de deux matrices. On peut démontrer qu’une partie particulière du spectre, correspondant à l’une de deux matrices, est à gauche de l’axe imaginaire et l’autre à droite. La probabilité de ruine s’écrit finalement comme une somme de fonctions exponentielles avec les valeurs du spectre gauche en coefficients dans les exposants.

Bibliographie

- Albrecher, H., Boxma, O. : On the discounted penalty function in a Markovdependent risk model, Insurance : Mathematics and Economics, 37, 650-672, 2005.
- Asmussen, S. : Ruin Probabilities, World Scientific, 2000.
- Eisele, K.-Th. : Distributions de type de phase, Cahiers du Diplôme d’Actuaire, 3, 2005.
- Eisele, K.-Th. : Recursions for Multivariate Compound Phase Variables, Insurance : Mathematics and Economics, 42, 65-72, 2008.
- Gerber, H. U., Shiu, E. S. W. : The time value of ruin in a Sparre Andersen, North American Actuarial Journal, 9, 49-84, 2005.

Dernière mise à jour le 2-04-2008