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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Introduction au calcul stochastique

Introduction au calcul stochastique

Jacques Franchi

Durée : 35 heures.

Créé par Itô au milieu du xxe siècle, le calcul stochastique est un des outils les plus puissants de la théorie des probabilités. C’est une extension du calcul différentiel et intégral dans laquelle figurent des termes complémentaires ; par exemple, l’analogue de la formule d(g o f) = (g’o f) df fait intervenir les dérivées première et seconde de g.
En outre, contrairement à la mécanique classique, cette théorie est intrinsèquement irréversible, les termes complémentaires n’étant pas invariants par inversion du sens du temps.

But

Introduire le mouvement brownien et le calcul d’Itô ; présenter les propriétés
fondamentales du mouvement brownien et la résolution des équations différentielles stochastiques, surtout linéaires ; introduire des exemples de diffusions et de mouvements browniens gauches sur des groupes de Lie.

Prérequis : Un cours de base sur les probabilités, de niveau M1.

Contenu résumé

- Martingales : Définitions ; théorème d’arrêt ; inégalités de Doob ; théorème de convergence ; martingales en temps continu.
- Mouvement brownien réel : Théorème de Donsker, mesure de Wiener ; temps d’atteinte ; propriétés trajectorielles, de Markov, et autres.
- Intégration stochastique : Intégrale d’Itô, semi-martingales browniennes,
formule d’Itô ; un exemple financier : la formule de Black-Scholes ; théorème de Girsanov et formule de Cameron-Martin ; représentation des martingales ; intégrale de Stratonovitch.
- Mouvement brownien de IRd : Définition, caractérisation de Lévy ; transience-récurrence ; lien entre mouvement brownien et fonctions harmoniques ; décomposition polaire ; enroulements du mouvement brownien plan.
- Mouvement brownien sur un groupe de Lie : Equations différentielles stochastiques linéaires ; formule d’Itô pour les matrices ; mouvements browniens gauches sur un groupe de Lie ; exemples.
- Diffusions et générateurs : E. D. S. ; diffusions et générateurs ; changement
d’échelle et de vitesse en dimension 1 ; exemples de diffusions.

Bibliographie
- En premier lieu : D. Revuz, M. Yor : Continuous martingales and Brownian motion (chapitres I àIV). Springer 1991,1994,1999.

3 autres références :
- O. Kallenberg : Foundations of Modern Probability (chapitres 5, 6, 11, 15, 16, 20, (21)). Springer 1997.
- L. Rogers, D. Williams : Diffusions, Markov Processes and Martingales (chapitre IV surtout). J. Wiley & sons, New York 1987 et 1994.
- I. Karatzas, S.E. Shreve : Brownian motion and stochastic calculus. Springer 1988.

Dernière mise à jour le 2-04-2008