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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 Recherche 2008-2009 > Techniques markoviennes

Techniques markoviennes

Vincent Vigon

Durée : 35 heures.

But

Présenter les aspects fondamentaux des chaînes de Markov. Il s’agit de
décrire l’évolution aléatoire d’un système dont l’état à l’instant t + 1 (ou t + dt si
le temps varie continûment) est tiré au sort selon une loi qui dépend seulement de
l’état à l’instant t. Ainsi, tout le passé est oublié, seul compte l’état actuel. Nous
nous restreindrons au cas o`u l’ensemble des états possibles est dénombrable ; le temps
sera le plus souvent discret, avec quelques ouvertures sur le temps continu.

Prérequis : Un cours de base en probabilités, de niveau M1.

Contenu résumé

- Matrice de transition, noyau potentiel. En temps continu : générateur,
équations backward et forward.
- Fonctions et mesures excessives, décomposition potentiel/invariante. Réduites.
Principe du maximum. Lien entre récurrence et unicité de la fonction (ou mesure)
excessive.
- Dualité et retournement du temps.
- h-transformation de Doob. Exemples : ponts homogènes, loi d’une trajectoire
avant/après un dernier/premier temps de passage.
- Frontière de Martin. Frontière de Poisson. Tribu des invariants et fonctions
invariantes. Exemple : marches aléatoires sur Zd.
- Chaine de Markov réversible, vitesse de convergence à l’équilibre, principe des
algorithmes MCMC.
- S’il reste du temps : lien entre factorisation LU et la loi du minimum.

Bibliographie

- D. Foata & A. Fuchs. Processus stochastiques. Dunod (2002).
- C. Dellacherie & P. A. Meyer. Probabilités et potentiel, chap IX à XI : théorie
discrète du potentiel. Hermann (1983).
- J.G. Kemeny & J.L. Snell & A.W. Knapp. Denumebable Markov Chains. Van
Nostrand (1966).

Dernière mise à jour le 2-04-2008