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Sujets de thèses proposés à l’IRMA à la rentrée 2008

Sujets de thèses proposés :

- Variétés de Shimura et congruences entre formes automorphes (Henri Carayol, Professeur)
- Singularités des diviseurs sur les variétés de Fano (Olivier Debarre, Professeur)
- Géométrie de Finsler et Orbites périodiques (Patrick Foulon, Professeur)
- Analyse des valeurs extrêmes et censure (Armelle Guillou, Professeur)
- Valeurs extrêmes et géostatistique (Armelle Guillou, Professeur, et Philippe Naveau, Chargé de recherches CNRS)
- Géométrie arithmétique : Relèvements vers la caractéristique 0 des variétés abéliennes. (Rutger Noot, Professeur)

- D-modules arithmétiques équivariants (Christine Noot-Huyghe, Chargée de Recherches CNRS)
- Comparaison de différentes techniques statistiques appliquées dans la recherche médico-anthropologique des années 1920-1930 (Norbert Schappacher, Professeur)
- Etude du modèle de Vlasov gyrocinétique (Eric Sonnendrücker, Professeur)
- Relèvements de représentations galoisiennes (Jean-Pierre Wintenberger, Professeur)

Détail des sujets :

Variétés de Shimura et congruences entre formes automorphes (Henri Carayol, Professeur).

Dans le cas classique des formes modulaires, autrement dit pour le groupe SL(2), les congruences entre diverses formes ont été depuis longtemps utilisées avec succès dans différentes questions, par exemple pour construire les représentations galoisiennes attachées aux formes de poids 1. De telles congruences peuvent être obtenues soit du côté de la cohomologie cohérente (en utilisant l’invariant de Hasse), soit du côté de la cohomologie modulo l. Le but de la thèse proposée est d’étudier les analogues possibles dans des cas de dimension supérieure, tant du point de vue de la cohomologie cohérente que de la cohomologie l-adique. On en déduira diverses conséquences, en particulier la construction de représentations galoisiennes associées à des représentations automorphes dont la composante archimédienne est une limite (non dégénérée) de séries discrètes.

La théorie des congruences entre formes modulaires a connu ces dernières années des avancées spectaculaires, mentionnons en particulier celles liées aux travaux de Wiles et Taylor. Jusqu’à présent les résultats dont on dispose concernent surtout le cas du groupe SL(2) et il importe maintenant d’explorer le cas de groupes de plus grande dimension, groupes unitaires et symplectiques en particulier. La thèse proposée s’inscrira dans ce domaine en plein développement.

Singularités des diviseurs sur les variétés de Fano (Olivier Debarre, Professeur)

Une notion centrale pour l’étude des singularités d’un Q-diviseur effectif D dans une variété projective lisse complexe X de dimension n est celle de seuil log-canonique (« log-canonical threshold » en anglais) en un point x de X :
lctx(D) = supc ∈ Q+* | |f|^-2c est localement intégrable
où f est une équation locale de D en x. Par exemple, la codimension dans X du lieu des points de D de multiplicité ≥ k est ≥ k lctx(D) en x. On a aussi 1/multx(D) ≤ lctx(D) ≤ n/multx(D).
Kollár utilisa ce genre d’idées pour résoudre dans [K] une conjecture sur les singularités d’un diviseur Θ d’une vapp A, en montrant lctx(Θ) ≥ 1 en tout point x de Α.

Ce résultat a été complété depuis dans [EL] qui montre lctx(D) ≥ 1/k pour tout D ∈ |kΘ| et tout x ∈ A, dans [DH] qui étudie le cas des polarisations non principales et par [H], qui traite le cas des variétés homogènes rationnelles de nombre de Picard 1. Il montre plus généralement que si X est une variété de Fano de nombre de Picard 1 et de dimension n, et que x est un point général de X, alors lctx(D) ≥ 1/(k(n+1)) pour tout D ∈ |-kKX|.

Ces résultats ouvrent plusieurs directions de recherche :

- étendre les résultats de [H] aux variétés de contact (dont on conjecture qu’elles sont homogènes rationnelles) ;
- la conjecture que si X est une variété de Fano de nombre de Picard 1 et de dimension n, et que x est un point général de X, alors multx(D) ≤ 2kn pour tout D ∈ |-kKX| ;
- la conjecture que si X est une variété de Fano de nombre de Picard 1 et de dimension n, (-KX)n ≤ (n+1)n.

Bibliographie :

- [DH] Debarre, O., Hacon, C., Singularities of divisors of low degree on abelian varieties, Manuscripta Math. 122 (2007), 217-228.
- [EL] Ein, L., Lazarsfeld, R., Singularities of theta divisors and the birational geometry of irregular varieties, J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), 243-258.
- [H] Hwang, J.-M., Log canonical thresholds of divisors on Fano manifolds of Picard number 1, Compositio Math. 143 (2007), 89-94.
- [K] Kollár, J., Shafarevich maps and automorphic forms. M. B. Porter Lectures. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1995.

Géométrie de Finsler et Orbites périodiques (Patrick Foulon, Professeur)

Cette thèse s’articulera autour de deux axes principaux.
Le premier ayant trait aux systèmes dynamiques et à la théorie des noeuds et le second se situant dans le domaine de la géométrie de Finsler.

A partir de chirurgies de type Handel et W.Thurston, ou Sue Goodmann il est possible de construire des flots d’Anosov contact sur des variété hyperboliques de dimension 3 (Foulon 1995). Ces exemples exhibent un comportement jamais observé auparavant : l’existence de plusieurs orbites périodiques homotopes . Ces orbites périodiques sont des noeuds dans des variété hyperboliques, il serait intéressant d’adapter une théorie des noeuds applicable à ce contexte.

La seconde question pour cette thèse serait d’étudier des propriétés métriques et angulaire en géométrie de Finsler, notamment en utilisant l’existence d’un Laplacien « naturel » pour les métriques de Finsler.

Analyse des valeurs extrêmes et censure (Armelle Guillou, Professeur)

Supposons disposer de n observations indépendantes et de même loi. Si on s’intéresse à un comportement extrême, on peut avoir recours à des résultats de Fisher et Tippett (1928) et Gnedenko (1943) selon lesquels la plus grande des observations correctement re-normalisée va converger en loi vers une classe de distribution H dépendant d’un paramètre . De nombreux estimateurs de ce paramètre ont été proposés dans la littérature. Ils dépendent tous du nombre k de statistiques d’ordre à utiliser pour construire ces estimateurs. Le problème dans l’utilisation de ces techniques sur des jeux de données réelles est que parfois ces observations ne sont pas correctement mesurées, au sens où elles peuvent être censurées. C’est typiquement le cas dans les applications médicales quand on veut tester l’efficacité d’un nouveau médicament. Dans ce type de contexte, très récemment des estimateurs d’indice et de quantiles extrêmes ont été proposés. Comme dans le cas d’absence de censure, ils sont très volatils en fonction de k. Nous proposons, dans un premier temps, de chercher des algorithmes de sélection de k pour les estimateurs adaptés à la censure. Puis des techniques de réduction de biais devront être proposées. Enfin, le problème de l’introduction de co-variables (comme l’âge) devra être abordé.

Valeurs extrêmes et géostatistique (Armelle Guillou, Professeur, et Philippe Naveau, Chargé de recherches CNRS)

Dans de nombreuses applications (données climatiques, de pollution, …), les observations sont dispersées dans l’espace, soit sur une grille régulière ou à des endroits irrégulièrement espacés. Bien que le comportement moyen de la plupart des processus spatiaux soit bien modélisé et compris par les scientifiques, leur compréhension de la façon de mesurer la dépendance spatiale pour des événements extrêmes est encore bien mystérieuse ou dans l’état de perspectives.

Les données climatiques ou de pollution par exemple sont enregistrées spatialement et les mesures à différents endroits exhibent clairement une dépendance. Les données spatiales qui sont enregistrées à un instant spécifique (par exemple les précipitations à une date donnée) ou qui reflètent la structure moyenne (par exemple les précipitations annuelles moyennes), sont généralement modélisées par des processus gaussiens spatiaux. Pour modéliser de telles données, la structure de dépendance spatiale doit d’abord être trouvée, et pour cela il est usuel de l’estimer en utilisant le variogramme qui est un estimateur naturel de part son lien avec la covariance qui caractérise complètement la dépendance si on suppose que le modèle spatial sous-jacent est gaussien. Cependant, il n’est pas clair du tout de savoir comment modéliser des données spatiales qui représentent des événements extrêmes.

Dans un premier temps, des estimateurs statistiques simples, efficaces et bien adaptés à l’analyse des extrêmes spatiaux devront être proposés et leurs propriétés asymptotiques à établir. Dans un second temps, l’application des résultats à des données réelles devra être effectuée.

Ce travail de thèse permettra de faire un lien entre la théorie des valeurs extrêmes d’une part et la géostatistique d’autre part, deux champs de recherche statistique qui ont été rarement connectés dans le passé.

Homotopie stable et groupes formels(Hans-Werner Henn, Professeur)

Depuis les travaux de Quillen on sait qu’il existe des liens forts entre l’homotopie stable et la théorie des groupes formels en dimension 1. En particulier, la cohomologie du groupe d’automorphisme d’une loi de groupe formel d’hauteur n sur un corps fini de caracteristic positif p détermine largement la categorie des spectres K(n)-locaux si K(n) note la n-ème K-théorie de
Morava.

Le groupe d’automorphisme d’une loi de groupe formel d’hauteur n est une groupe de Lie p-adique et le but de cette thèse est d’étudier des liens entre la cohomologie de ce groupe et de son algèbre de Lie dans des cas particuliers.

Géométrie arithmétique : Relèvements vers la caractéristique 0 des variétés abéliennes. (Rutger Noot, Professeur)

Le but de la thèse est l’étude des relèvements vers la caractéristique 0
des variétés abéliennes en caractéristique strictement positive. Pour ce
faire on utilisera des méthodes variées de la géométrie arithmétique, en
particulier la théorie des groupes p­-divisibles.

D-modules arithmétiques équivariants (Christine Noot-Huyghe, Chargée de Recherches CNRS)

La théorie des D-modules arithmétiques est l’équivalent, pour les schémas en cararactéristique p>0, de la théorie des D-modules pour les variétés algébriques complexes.
En particulier, les coefficients permettant de calculer la cohomologie rigide de tels schémas, sont des D-modules arithmétiques holonomes.

Dans un premier temps, il s’agira dans ce travail, de formaliser la théorie des D-modules arithmétiques équivariants, pour un schéma lisse sur un corps parfait k muni d’une action d’un groupe
(qu’on prendra fini ou réductif), relevé en un schéma formel lisse sur l’anneau des vecteurs de Witt de k. Cela aura des applications en cohomologie
rigide équivariante et pour la théorie des D-modules arithmétiques sur les variétés de drapeaux.

Comparaison de différentes techniques statistiques appliquées dans la recherche médico-anthropologique des années 1920-1930 (Norbert Schappacher, Professeur)

On doit à Felix Bernstein la découverte, réalisée en 1925, des lois d’hérédité des groupes sanguins A,B,AB,O. Cette découverte repose sur des méthodes statistiques, qui furent ensuite poussées plus loin, par Bernstein et d’autres. Le programme de recherche génétique qui en résultait, qu’on appelle « algèbre mendélienne », a été effectivement freiné en Allemagne par des décisions des principaux bailleurs de fonds dès la fin de années 1920 ; il sera poursuivi par la suite surtout en Angleterre. Une interprétation de cette évolution, suggérée par Pauline H.M. Mazumdar, fait état de deux modèles antagonistes de la recherche génétique dans les années vingt et trente : celui de Bernstein et plus généralement les études génétiques autour des groupes sanguins d’une part, et celui d’Ernst Rüdin et de son école sur l’hérédité des maladies mentales de l’autre. Selon Mazumdar, cette dernière école était marquée par « very little mathematics ». Cette thèse de Mazumdar mérite d’être réétudiée plus en détails. Par exemple, l’un des statisticiens clé de Rüdin était Wilhelm Weinberg dont les méthodes statistiques furent attaquées par Bernstein à plusieurs reprises. Mais on pourrait aussi interpréter ces polémiques comme l’indication indirecte d’un accord sur le principe même d’une méthodologie statistique mathématique. Deux lettres conservées dans le fonds Felix Bernstein à la NSUB de Göttingen soulignent la nécessité de se pencher plus en détails sur le rapport des deux écoles. D’abord une lettre de Bernstein à Rüdin datée du 26 mai [19]30 demandant des données brutes relatives à une ancienne étude de Rüdin et Weinberg. Et ensuite la lettre de Bernstein à [Fritz] Lenz qui, entre autres, accuse réception du matériel de Rüdin. Une meilleure compréhension de la relation entre Bernstein et l’école de Rüdin au début des années 1930 sera d’ailleurs indispensable pour apprécier à sa juste valeur le développement scientifique du statisticien Siegfried Koller entre 1933 et 1945.

Le étude historique proposée ici cherchera d’une part d’autres traces archivales du rapport directe entre les deux écoles, et se penchera d’autre part en détail sur les pratiques de recherche repsectives de représentants des deux écoles – en particulier de Bernstein et Rüdin eux-mêmes. Seront étudiés également les recherches sur la notion de distance introduite sur le génôme par Bernstein, en terme de probabilités de « crossover », et la suite de cette approche en Angleterre (Haldane et autres).

Etude du modèle de Vlasov gyrocinétique (Eric Sonnendrücker, Professeur)

La compréhension du développement de la turbulence dans des plasmas magnétisés qui est un des freins au confinement suffisamment long de l’énergie nécessaire pour obtenir des réactions de fusion nécessite des simulations numériques mettant en jeu des modèles cinétiques. Dans le cadre des plasmas de tokamaks pour lesquels le champ magnétique extérieur est très fort, on utilise des modèles approchés de type Vlasov gyrocinétique couplés à une équation de quasi-neutralité pour déterminer le champ électrique auto-consistant. La théorie gyrocinétique moderne développée en physique permet d’obtenir différents modèles de ce type qui sont très complexes. Une compréhension suffisamment bonne de ces modèles est indispensable pour développer des logiciels de simulation précis et performants.

Le travail proposé dans cette thèse consiste à reprendre d’un point de vue plus mathématique la dérivation des modèles gyrocinétiques et d’obtenir des modèles possédant de bonnes propriétés de conservation que l’on pourra utiliser pour valider les outils des simulation qui seront également développés. Différentes techniques de type semi-Lagrangien seront étudiées pour la résolution numérique de ces équations.

Relèvements de représentations galoisiennes (Jean-Pierre Wintenberger, Professeur)

Soit r une représentation du groupe de Galois de Q dans le groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie sur un corps fini de caractéristique p. Le problème est de relever r en une représentation p-adique R tout en contrôlant la ramification. Le premier cas intéressant est celui de dimension 2. Il est assez bien compris grâce aux travaux de Ramakrishna [1], voir aussi [2]. Le sujet serait de regarder des cas en dimension supérieure où l’on a des résultats très partiels [3]. Un intérêt du problème est de pouvoir induire des congruences entre formes automorphes.

- [1] Ramakrishna, Ravi Deforming Galois representations and the conjectures of Serre and Fontaine-Mazur. Ann. of Math. (2) 156 (2002), no. 1, 115-154.
- [2] Khare Wintenberger Serre modularity conjecture (2) Préprint.
- [3] Clozel-Harris -Taylor. Automorphy for some l-adic lifts of automorphic modl Galois representations. Préprint.

Dernière mise à jour le 29-01-2013