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Sujets de thèses proposés à l’IRMA à la rentrée 2007

Propositions de sujets de thèse 2007

Mathématiques et Langages (Edouard BELAGA) : Méthodes mathématiques efficaces pour l’étude d’émergence et d’évolutions des langues naturelles.

Dans leur article récent, 2003, avec le titre provocateur « Language Evolution : The Hardest Problem In Science ? [Christiansen, Kirby 2003], pp. 1-15, Morten H. Christiansen et Simon Kirby écrivent :
Language is one of the hallmarks of the human species -an important part of what makes us human. Yet, despite a staggering growth in our scientific knowledge about the origin of life, the universe and (almost) everything else that we have seen fit to ponder, we know comparatively little about how our unique ability for language originated and evolved into the complex linguistic systems we use today. Why might this be ?

Nous proposons le thème de thèse « Combinatoire des langues naturelles » qui cherche en particulier à élucider cet énigme, en réunissant quatre approches différentes :
- l’approche bien connue de « fuzzy logic » et d’informatique théorique enrichie récemment par des nouvelles techniques [Mehler, Köhler 2007] qui traitent les langues naturelles comme à la fois des objets et des instruments du calcul ;
- les théories linguistiques traitent des problèmes structuraux de langues sémitiques et indo-européennes ;
- les méthodes mathématiques et informatiques, transplantées de biologie évolutive, pour étudier la « génétique » de langues vivantes [Gray, Atkinson 2003] ;
- notre propre approche novatrice qui cherche à discerner et à exploiter dans la double structure de langues naturelles les aspects combinatoires avec ses implications suggestives unifiant morphologie et sémantique.

Bibliographie :
- M. H. CHRISTIANSEN, S.KIRBY, eds. [2003] : Language Evolution, Oxford Univ. P.
- R. D. Gray, Q. D. Atkinson [2003] : Language-tree divergence. Nature 426 435-439.
- A. Mehler, R. Köhler, eds. [2007] : Aspects of Automatic Text Analysis. Springer.

Approximation diophantienne (Yann BUGEAUD) : Approximation diophantienne dans les corps de séries formelles.

Mahler et Koksma ont proposé des classifications pertinentes des nombres réels, qui furent (et continuent à être) très étudiées. Des classifications analogues pour les éléments d’un corps de séries formelles ont été un peu regardées, il reste néanmoins de nombreuses questions à résoudre. Cela fait l’objet d’une première partie de la thèse. Dans un second temps, il conviendrait d’examiner si les résultats récents de transcendance obtenus dans le cas réel au moyen du théorème du sous-espace de W. Schmidt possèdent leur analogue dans les corps de séries formelles. Des difficultés apparaissent certainement lorsque le corps de base est un corps fini.

Formes automorphes (Henri CARAYOL) : Variétés de Schimura et congruences entre formes automorphes.

Dans le cas classique des formes modulaires, autrement dit pour le groupe SL(2), les congruences entre formes modulaires ont été depuis longtemps utilisées avec succès dans différentes questions, par exemple pour construire les représentations galoisiennes attachées aux formes de poids 1. Le but de la thèse est d’étudier les analogues possibles dans des cas de dimension supérieure, tant du point de vue de la cohomologie cohérente que de la cohomologie l-adique. On en déduira diverses conséquences, en particulier la construction de représentations galoisiennes associées à des représentations automorphes dont la composante archimédienne est une limite de séries discrètes.

Géométrie algébrique (Olivier DEBARRE) : Sur les cônes effectifs de certaines variétés projectives.

Soit X une variété projective lisse (complexe). Dans l’espace vectoriel (de dimension finie égale au nombre de Picard de X ) des cycles algébriques sur X de codimension 1 à coefficients réels modulo équivalence numérique se trouvent d’une part le cône pseudo-effectif, cône convexe fermé engendré par les classes des hypersurfaces de X , d’autre part le cône nef, cône convexe fermé engendré par les classes des diviseurs amples sur X .

Le cône nef est contenu dans le cône effectif, et on cherche à déterminer ces cônes dans certaines situations.

1. Cônes et stabilité des fibrés vectoriels.
Si X est une courbe projective lisse et E un fibré vectoriel sur X , le nombre de Picard du fibré projectif P(E) est 2 . On sait que E est semi-stable si et seulement si les cônes nef et pseudo-effectif de P(E) sont les mêmes.

Lorsque X est une surface (projective lisse), la situation est beaucoup plus compliquée, même lorsque E est de rang 2 . Si les cônes nef et pseudo-effectif de P(E) sont les mêmes, E est semi-stable (relativement à toute classe ample). En revanche, la réciproque est fausse en général.
On se propose d’étudier le cas où E est un fibré vectoriel stable très général de rang 2 sur le plan projectif, de première classe de Chern 0 et seconde classe de Chern c > 1 . Si c/3 est un carré parfait, on montre sans difficulté que les cônes nef et pseudo-effectif sont les mêmes. Dans le cas contraire, si de plus 1 7 , c/3 non carré parfait. On pense que pour c >> 0 , ces cônes devraient être les mêmes.
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2. Cônes et produits de courbes.
Les cônes nef et pseudo-effectif des produits symétriques d’une courbe (projective lisse) C ont été beaucoup étudiés, mais ils ne sont pas encore entièrement connus. De façon plus frappante, ces cônes ne sont connus pour le produit C x C , pour C courbe très générale de genre g , que pour g = 1 . Il y a une description conjecturale, qu’il s’agira de démontrer.

Groupes quantiques (Benjamin ENRIQUEZ) : Construction d’algèbres de reflection et de structures elliptiques sur des algèbres de Hopf.

Ce projet s’insère dans le contexte suivant : la théorie des algèbres quasi-Hopf permet de construire des représentations des groupes de tresses.
Cette théorie contient une opération appelle "twist". Cette opération permet de passer d’algèbres (et représentations de tresses) définies sur un anneau de séries formelles a des objets analogues définis sur un anneau de polynômes, voire (aux racines l’unité) a des objets de dimension finie.

La théorie des algèbres de quasi-Hopf a été récemment enrichie de nouveaux objets : algèbres de (quasi)-reflection, structures elliptiques sur une algèbre de quasi-Hopf, qui donnent des nouvelles représentations de groupes de tresses (le groupe B_{n+1} \times_{S_{n+1}} S_n dans le premier cas, le groupe des tresses réduit sur un tore dans le second).

Les exemples connus a ce jour se placent tous dans le cadre formel ; il faudrait, au prix d’un twist convenable, construire des exemples définis sur un anneau de polynômes, et éventuellement des exemples finis. Les représentations des groupes de tresses ainsi construites devraient s’identifier a celles de la théorie conforme des champs (étudiées par Cherednik dans le cas elliptique)

Equations aux dérivées partielles (Philippe HELLUY) : Etude théorique et numérique des écoulements avec transition de phase supercritique.

- Contexte :

L’étude des écoulements compressibles avec transition de phase connaît actuellement un regain d’intérêt. Les applications sont nombreuses : écoulement dans les réacteurs de centrales électriques, cavitation de l’eau près des hélices, pompes de réfrigérateurs, etc. Les problèmes mathématiques posés sont intéressants : par exemple le critère d’entropie de Lax ne permet plus d’assurer l’unicité de la solution.

Dans le cas des transitions de phase subcritiques, la théorie est à peu près complète. En revanche, pour les transitions de phase au voisinage du point critique, de nombreuses questions restent posées : dans le cas d’une loi d’état d’équilibre, des controverses existent sur le critère d’unicité à retenir ; on ne sait pas non plus écrire de modèle hors équilibre compatible avec le second principe de la thermodynamique.

- Sujet :

Dans cette thèse, on abordera la modélisation du changement de phase de la façon suivante : l’entropie du mélange est la sup-convolution des entropies des deux phases. Il s’agira de voir s’il est possible de représenter un phénomène critique avec cette approche, éventuellement adaptée. Il s’agira aussi d’exploiter les bonnes propriétés algorithmiques de la sup-convolution.
D’autres thèmes seront abordés : problème de Riemann, approximation par volumes finis, quelques applications.

Le candidat devra s’intéresser à l’analyse convexe, la théorie des équations aux dérivées partielles, la simulation numérique.

Pour plus d’informations et une bibliographie, contacter helluy@math.u-strasbg.fr

Algèbre et topologie (Hans-Werner HENN) : Homotopie stable et groupes formels.

Depuis les travaux de Quillen on sait qu’il existe des liens forts entre l’homotopie stable et la théorie des groupes formels en dimension 1. Par exemple, la théorie des déformations des groupes formels d’hauteur n sur un corps fini de characteristic positif p détermine largement
la catégorie des spectres K(n)-locaux si K(n) note la n-ème K-théorie de Morava pour le premier p.

Dans ce thèse on s’intéresse à des implications de l’existence de symétries finies
d’un groupe formels d’hauteur positif n sur la catégorie des spectres K(n)-locaux.

Théorie du contrôle (Vilmos KOMORNIK) : Théorie du contrôle des EDP.

Inégalité d’observabilité par les méthodes de multiplicateurs et par analyse harmonique
Théorème du type Ingham
Contrôlabilité par la méthode HUM de J.-L. Lions
Stabilisation par la méthode de multiplicateurs et par les méthodes abstraites

Factorisation (Maurice MIGNOTTE) : Algorithmes de factorisation des polynômes de Z[X].

La théorie de la factorisation des polynômes en une variable a été bouleversée depuis l’introduction des systèmes de calcul formel sur les ordinateurs. Les anciennes méthodes, dues en particulier à Kronecker ont été remplacées par des procédures qui font appel à de nombreux chapitres classiques des mathématiques et qui sont infiniment plus efficaces.

La première méthode adaptée aux ordinateurs a été celle de Berlekamp-Zassenhaus, qui date de 1970 et qui fait intervenir la théorie des corps finis (pour la factorisation modulo p), les majorations des racines d’un polynôme à coefficients complexes (soit un peu d’analyse sur les complexes), la méthode de Hensel qui fait intervenir les méthodes p-adiques. Cette procédure a l’inconvénient théorique de conduire à un coût qui peut être exponentiel en fonction du degré d du polynôme à factoriser. En 1982, dans un travail remarquable, A. Lenstra, H. Lenstra et Lovasz ont présenté un algorithme de coût polynomial en fonction de d, et leur travail contenait la définition du fameux algorithme LLL. Depuis d’autres méthodes ont été proposées mais tout n’est pas dit dans ce domaine. Il reste en particulier à étudier le cas difficile mais très intéressant des polynômes lacunaires.

Le projet proposé est donc de faire le point sur les connaissances actuelles sur ces questions et de tenter de trouver des améliorations aux algorithmes les plus modernes.

Géométrie arithmétique (Rutger NOOT) : Relèvements vers la caractéristique 0 des variétés abéliennes.

Le but de la thèse est l’étude des relèvements vers la caractéristique 0 des variétés abéliennes en caractéristique strictement positive. Pour ce faire on utilisera des méthodes variées de la géométrie arithmétique, en particulier la théorie des groupes p-divisibles.

Géométrie et topologie (Athanase PAPADOPOULOS) : Géométrie de l’espace de Teichmuller.

L’espace de Teichmueller est un espace de paramètres pour l’ensemble des strucutes complexes sur une surface données, ou, de manière équivalente, pour l’ensemble des métriques à courbure constante sur cette surface, à une relation d’équivalence près. Cet espace est muni d’une topologie, d’une structure complexe, d’une structure symplectique, d’une métrique riemannienne, et de plusieurs métriques finslériennes très intéressantes, qui en font depuis plusieurs années l’objet d’un grand domaine de recherche qui touche la géométrie, l’analyse, la topologie et la physique mathématique. Le sujet proposé concerne l’étude de la géométrie de cet espace à travers la représentation de ses éléments par des métriques euclidiennes avec des singularités isolées du type conique. Les méthodes utiles dans ce projet de thèse sont celles de la géométrie classique et de la topologie des petites dimensions

Théorie ergodique (Michel WEBER) : Régularisation spectrale en théorie ergodique.

Soient T une contraction d’un espace de Hilbert H, et An = n-1(T0 + T1 +Š+Tn-1) , n=1,2Š

la suite des moyennes associées. Il s’agit de développer une méthode spectrale récemment introduite en théorie ergodique, et permettant d’étudier efficacement la structure de l’ensemble Af = Anf, n=1,2,.. où f est un élément quelconque de H. Le principe de cette méthode est contenu dans une inégalité très simple. Si m est la mesure spectrale de f relative-ment à T, on peut régulariser celle-ci à l’aide d’un noyau spectral en une mesure µ pour laquelle on obtient l’inégalité remarquable suivante : II Anf- Amf II2¾ 4¼ µ( m-1, n-1), valable pour tous entiers m „ n. Cette inégalité fournit des estimations optimales de l’entropie métrique de l’ensemble Af et de la fonction carré de Littlewood-Paley. Ces résultats ont été étendus aux moyennes mobiles, et sous une forme plus spécifique, aux moyennes de sommes de Riemann. Dans ce sujet de thèse, le cas de classes particulières de moyennes pondérées, ainsi que de moyennes relatives à certaines suites d’entiers devra être considéré.

Références bibliographiques
- Weber M.[2006] : Uniform bounds under increment conditions, Trans. Amer. Math. Soc. 358, 911-936.
- Weber M. [2005] : Almost sure convergence and square functions of averages of Riemann sums, Results Math. 47, 340-354.
- Lifshits M., Weber M. [2003] : Régularisation Spectrale et Propriétés Métriques des Moyennes Mobiles, J. d’Analyse Math. 89, 1-14.
- Lifshits M., Weber M. [2000] : Spectral regularization
inequalities, Math. Scand. 86, 75—99.
- Nair R., Weber M. [1999] : On variation functions for
subsequence ergodic averages, Monatsh. Math., 128,131—150.
- Weber M. [1998] : Entropie métrique et convergence presque
partout, Trav. en Cours 58, Hermann, Paris.

Dernière mise à jour le 29-01-2013