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Master Recherche 2006-2007

Trimestre I

Géométrie des variétés de Poisson et quelques éléments de quantification par déformation : Martin Bordemann (UHA)

Description du cours

Une variété de Poisson est une variété Cinfini munie d’un champ de
bivecteurs P tel que le crochet de Poisson P(df,dg) pour deux fonctions C^infini à valeurs réelles soit un crochet de Lie. On va étudier ces structures d’abord dans Rn (où la théorie locale est déjà très riche) avec les exemples principaux : les structures constantes, les structures linéaires qui sont équivalentes à des structures de Lie sur l’espace dual, certaines structures quadratiques et des structures symplectiques. On introduira le crochet de Schouten sur les champs de multivecteurs. Ensuite, on étudiera la théorie de quantification par déformation : il s’agit d’une déformation formelle associative de la multiplication point-par-point des fonctions Cinfini à valeurs réelles telle que le commutateur d’ordre 1 est proportionnel au crochet de Poisson donné. On discutera de quelques exemples concrèts (la formule de Gerstenhaber pour des structures constantes), la version formelle de l’algèbre enveloppante des structures linéaires et des théorèmes d’existence et d’équivalence de Lecomte-De Wilde (et de Kontsevich s’il rest encore du temps).

Bibliographie

1. Boris FEDOSOV : Deformation Quantization and Index Theory ; Akademie Verlag Berlin, 1996
2. Izu VAISMAN : Lectures on the geometry of Poisson manifolds ; Birkhaüser, Basel, 1994
3. Martin BORDEMANN : Quantification par déformation. Un minicours. 2001


Élimination I : le cas d’une variable : François Apéry (UHA)

Description du cours

On développera le théorie du résultant et des sous-résultants à une variable sur un anneau commutatif. On montrera notamment la primalité de l’idéal résultant générique et on étudiera les sous-résultants de deux séries de Laurent. On appliquera ces méthodes à des calculs explicites.

Prérequis

Niveau : algèbre commutative de licence.

Bibliographie

1. F. Apéry, J.-P. Jouanolou, Résultant et sous-résultants : le cas d’une variable. 2005.

Cobordisme des noeuds fibrés : Vincent Blanloeil

Description du cours

Le but de ce cours est d’apprendre des résultats classiques de topologie des variétés, indispensables pour aborder l’étude de travaux de recherche récents sur la topologie des noeuds et des singularités isolées d’hypersurfaces complexes.

On utilisera des techniques spécifiques aux grandes dimensions (supérieure à cinq) pour démontrer le théorème du h-cobordisme, qui est indispensable pour donner une classifiaction des noeuds fibrés à cobordisme près. Le cas des noeuds de dimension trois, ainsi que le cobordisme en dimensions paires, nécessiteront l’utilisation de techniques adaptées à la topologie en dimensions trois et quatre.

Ce cours nécessite des prérequis de topologie algébrique qui seront étudiés dans le cours de H.-W. Henn.

On proposera des sujets d’étude plus approfondis sur les théorèmes d’Abhyankar-Moh et de Lê (sur l’équivalence du cobordisme et de l’isotopie pour les noeuds algébriques de dimension 1).

Plan du cours

1. Noeuds fibrés et noeuds algébriques, monodromie, polynôme d’Alexander, forme de Seifert ; 2. Théorème du h-cobordisme ; 3. Classifications à cobordisme près des noeuds de dimension 2n - 1 avec n > 2 ; 4. Noeuds de dimension trois ; 5. Cobordisme en dimensions paires ; 6. Relation du type Fox-Milnor ; 7. La relation "pull-back" pour les noeuds.

Bibliographie

1. G. Bredon : Topology and geometry, 2. W. Browder : Surgery on simply-connected manifolds, 3. J. Milnor : Lectures on the h-cobordism theorem, 4. J. Milnor : Singular points of complex hypersurfaces, 5. J. Milnor & D. Husemoler : Symmetric bilinear forms, 6. M. Oka : Non-degenerate complete intersection singularity, 7. C.T.C. : Wall Singular points of plane curves,

Introduction à la topologie algébrique : Hans-Werner Henn

Plan du cours

1. Homologie et cohomologie singulière : construction, axiomes d’Eilenberg et Steenrod, applications ; produits, dualité de Poincaré. 2. Eléments de la théorie d’homotopie : groupes d’homotopie, fibrations et cofibrations, CW-complexes, Théorèmes de Hurewicz et Whitehead.

Bibliographie

1. M.J. Greenberg et J.R. Harper : Algebraic Topology. A first course ; Benjamin/Cummings 1981 2. A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 ; Disponible sur la page web de Hatcher 3. E. Spanier, Algebraic Topology, Springer 1981

Series de Fourier en théorie du contrôle : Vilmos Komornik

Description du cours

Aperçu global de l’observabilité, la contrôlabilité et la stabilisation de systèmes d’évolution linéaires. Théorèmes du type Ingham. Applications aux systèmes de cordes ou poutres vibrantes, aux équations des ondes et de plaques. La plus grande partie du cours traiterait des résultats récents.

Bibliographie

Le cours suivrait le livre récent :

1. V. Komornik et P. Loreti, Fourier Series in Control Theory, Springer-Verlag, New York, 2005

Géométrie des surfaces : Athanase Papadopoulos

Description du cours

La géométrie des surfaces, l’espace des structures hyperboliques, l’espace des laminations géodésiques, l’action du groupe modulaire sur ces espaces et une introduction à la quantification de ces objets.

Plan du cours

1. Rappels sur le groupe fondamental, les revétements et la classification des surfaces. 2. Structures hyperboliques sur les surfaces et espace de Teichmueller. 3. Topologie et métriques sur l’espace de Teichmueller. 4. Courants géodésiques. 5. Laminations géodésiques. 6. Topologie et structure symplectique de l’espace des laminations géodésiques. 7. Introduction aux espaces de Teichmueller quantiques.

Prérequis

Les cours de topologie du niveau licence et de master.

Bibliographie

1. W. Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1 ; Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. 2. W. Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds. 3. F.Bonahon, Geodesic laminations on surfaces. Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology (Stony Brook, NY, 1998), 1-37 ; Contemp. Math., 269, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001. 4. Handbook of Teichmueller theory (ed. A. Papadopoulos) ; à paraitre en 2006, European Mathematical Society.

Singularités d’équations différentielles ordinaires dans le champ complexe : Reinhard Schäfke

Description du cours

Seront présentés les théories analytiques classiques et plus récentes pour les points singuliers d’équations différentielles ordinaires dans le champ complexe avec des exemples venant de la théorie des fonctions spéciales de la physique mathématique. Un thème central sera le phénomène de Stokes pour les singularités irrégulières et sa connexion (linéaire et non-linéaire) avec la théorie de la sommabilité. Dans le dernier chapitre, je présenterai des méthodes de calcul approché des coefficients de Stokes ; ceux-ci sont les quantités << transcendentes >> essentielles associées à un point singulier irrégulier.

Plan du cours

1. Propriétés de base des équations différentielles ordinaires dans le champ complexe. 2. Développements asymptotiques ordinaires et Gevrey ; resommation Borel-Laplace 3. Singularités régulières et irrégulières 4. Phénomènes de Stokes et introduction à la multisommabilité 5. Calcul formel-numérique des coefficients de Stokes

Bibliographie

1. Balser, Formal power series and linear meromorphic differential equations 2. Olver, Asymptotics and special functions 3. Wasow, Asymptotic expansions for ordinary differential equations 4. Lutz/Schäfke, Calculating connection coefficients for meromorphic differential equations ; Complex Variables 34 (1997), 145-170. 5. Schäfke/Volkmer, Asymptotic analysis of the equichordal problem ; J.f.Reine u. Angew.Math. 425 (1992), 9-60, section 10.

Zéros des Fonctions Holomorphes : Raphaëlle Supper

Description du cours

Le but de ce cours d’analyse complexe est l’étude du lien entre la croissance d’une fonction holomorphe d’une variable et la répartition de ses zéros. Par exemple, pour une fonction f holomorphe dans C tout entier, ayant une croissance de la forme : |f(z)| < M exp( A |z|r ) avec M, A et r des constantes positives indépendantes de z, on montrera que les zéros de f (notés zn) sont distribués de telle sorte que la série de terme général |zn|-r (ln |zn|)-a converge pour tout a>1. Par ailleurs, pour les fonctions f holomorphes dans le disque unité, on étudiera par exemple le cas où la moyenne de |f| sur le cercle |z|=r reste bornée indépendamment de r<1 : la série de terme général 1-|zn| est alors convergente. En parallèle sera étudié le cas des fonctions sous-harmoniques et de leur mesure de Riesz.

Plan du cours

1. Croissance des fonctions entières dans C 2. Fonctions entières de type exponentiel 3. Théorème de Levinson 4. Fonctions de la classe de Cartwright 5. Fonctions holomorphes dans le disque unité, avec une croissance de type Bloch ou de type Bergman

Prérequis

Programme d’un premier cours d’analyse complexe d’une variable (comme par exemple l’UE analyse complexe S6 de L3)

Bibliographie

1. D.Girela, M.Nowak et P.Waniurski : On the zeros of Bloch functions. ; ath. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129 (2000), no. 1, 117-128. 2. H.Hedenmalm, B.Korenblum et K.Zhu : Theory of Bergman spaces ; raduate Texts in Mathematics, 199. Springer-Verlag, New York, 2000. 3. P.Koosis : Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin ; Université de Montréal, Les Publications CRM,Montreal, PQ, 1996. 4. B.Ya.Levin : Lectures on entire functions ; Translations of mathematical monographs,Providence RI, American Mathematical Society, 1996. 5. R.Supper : Subharmonic functions in the unit ball ; Positivity (International Journal on Theory and Applications of Positivity in Analysis, Kluwer Academic Publishers), Volume 9, Number 4, December 2005, pp. 645-665. 6. K.H.Zhu : Operator theory in function spaces ; Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 139. Marcel Dekker, Inc., New York, 1990.

Trimestre II

Automates cellulaires et théorie des groupes : Michel Coornaert

Description du cours

Le cours a pour but d’exposer quelques résultats récents sur les automates cellulaires qui font intervenir des aspects géométriques de la théorie des groupes. Un thème central est le théorème des jardins d’Éden généralisé qui donne une caractérisation des automates cellulaires surjectifs sur les groupes moyennables. Ce cours est accessible aux étudiants ayant assimilé les notions de base de théorie des groupes et de topologie générale enseignées en L3.

Plan du cours

- 1. Automates cellulaires.
- 2. Groupes surjonctifs.
- 3. Théorème des jardins d’Eden.
- 4. Groupes sofiques.
- 5. Automates cellulaires linéaires.

Bibliographie

- 1. T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert : The Garden of Eden theorem for linear cellular automata ; Ergod. Th. & Dynam. Sys., 26 (2006), 53-68
- 2. T. Ceccherini-Silberstein, A. Machi, F. Scarabotti : Amenable groups and cellular automata ; Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49 (1999), 673-685.
- 3. M. Gromov : Endomorphisms of symbolic algebraic varieties ; J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 1 (1999), 109-197.

Homotopie stable : Hans-Werner Henn

Plan du cours

* Catégorie de Spanier Whitehead. * Spectres et théories d’homologie généralisées. * Catégories triangulées. * Localisation de Bousfield. * Suite spectrale d’Adams. * Cobordisme complexe. * Groupes formels et théorème de Quillen. * Filtration chromatique.

Bibliographie

1. J.F. Adams : Stable homotopy and generalised homology, The University of Chicago Press 1974 ; 2. R.M. Switzer : Algebraic Topology ; Homotopy and Homology, Springer 1975 3. D. Ravenel : Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres, ; Academic Press 1986 (deuxième édition : AMS 2003, également disponible sur la page web de Ravenel)

Elimination II : le cas de plusieurs variables : J.-P. Jouanolou

Description du cours

Résultants, formes d’inertie, applications géométriques

Bibliographie

1. J.-P. Jouanolou, Le formalisme du résultant ; Advances in Maths, n°90 II 1991, p.117-263. 2. L. Busé, J.-P. Jouanolou, On the closed image of a rational map and the implicitization problem ; Journal of Algebra, 265, 2003, p.312-357.

Ondelettes. Théorie et application aux méthodes adaptatives pour la résolution numérique d’EDP : Eric Sonnendrücker

Description du cours

Les ondelettes constituent une généralisation des séries de Fourier qui consiste à décomposer une fonction sur différentes échelles et d’obtenir ainsi une localisation à la fois spatiale et fréquentielle de l’information. Nous allons dans ce cours tout d’abord expliquer la construction d’ondelettes de première génération basée sur la transformée de Fourier, puis celle des ondelettes de deuxième génération basée sur l’interpolation et la projection qui va fournir un outil naturel pour l’approximation d’une fonction sur plusieurs échelles. Nous utiliserons ensuite cet outil pour déterminer de manière adaptative le maillage le plus adapté à chaque pas de temps pour le calcul de solutions approchées de lois de conservation.

Plan du cours

1. Fonctions d’échelle et ondelettes. 2. Analyse multirésolution. 3. Construction d’ondelettes à partir de leur transformée de Fourier : ondelettes orthogonales, bi-orthogonales, à support compact. 4. Construction d’ondelettes à partir d’un opérateur de prédictionet d’un opérateur de restriction. 5. Approximation non linéaire de fonctions. 6. Adaptation de maillage pour la résolution d’EDP basée sur l’approximation non linéaire de la solution calculée. 7. Bases d’éléments finis hiérarchiques.

Prérequis

* Séries et transformée de Fourier. * Bases d’analyse fonctionnelle, en particulier : Espaces Lp, espaces de Hilbert, projection orthogonale dans un espace de Hilbert. * Bases d’analyse numérique, en particulier interpolation et approximation de fonctions numériques.

Bibliographie

1. Albert Cohen "Numerical analysis of wavelet methods" ; Elsevier, 2003. 2. Ingrid Daubechies "Ten lectures on wavelets" ; SIAM, Philadelphia, 1992 3. Stéphane Mallat "Une exploration des signaux en ondelettes" ; Editions de l’Ecole Polytechnique, Paris 2000.

Dernière mise à jour le 6-06-2013