Partenaires

Logo IRMA
Logo CNRS
Logo UDS


Rechercher

Sur ce site

 
 IRMA, UMR 7501
 7 rue René-Descartes
 67084 Strasbourg Cedex
 Tél. 33 (0)3 68 85 01 29
 Fax. 33 (0)3 68 85 03 28

Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > DEA 2003-2004

DEA 2003-2004

ANALYSE NUMERIQUE
Théorie du point fixe et applications
Samir Akesbi

Description du cours


Le résultat que beaucoup de mathématiciens connaissent en théorie du
point fixe est sans aucun doute le principe de contraction de Banach.
C’est pour cela que nous commençons ce cours par une présentation de ce
principe ainsi qu’un certain nombre de généralisations de ce résultat.
Une application à l’existence et l’unicité de solution de certains
problèmes différentiels du premier ordre est donnée en fin du premier
chapitre. Dans la suite on s’intéressera à une classe plus générale
d’opérateurs dits
"Opérateurs non expansifs". Nous présenterons dans ce cadre le théorème de Schauder ainsi que celui de Browder, Göhde et
Kirk (1965). Nous terminerons le deuxième chapitre par la présentation d’une alternative non linéaire du théorème de Leray-Schauder. Dans le
dernier chapitre on s’intéressera à des applications des résultats démontrés dans les chapitres précédents à des problèmes concrets
modélisés par des EDP.


1. Introduction.


2. Contractions.


3. Applications non expansives.


4. Théorèmes de Brouwer, Schauder et Mönch.


5. Alternatives non linéaires de type Leray-Schauder.


6. Applications (problème de couplage fluide-structure).


Bibliographie


[1] R. Agarwal, M. Meehan, D. O’Regan,
Fixed point theory and applications.
Cambridge Tracts in öematics, 141
Cambridge University Press, Cambridge, 2001.


[2] E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications. I.
Fixed-point
theorems, Springer-Verlag, 1986.

Equations aux dérivées partielles
Vilmos Komornik

Description du cours


L’objet de ce cours de base est de fournir des compléments
aux cours habituels d’équations aux dérivées partielles en maîtrise de
mathématiques.


1. Rappels et compléments sur les espaces de Sobolev et sur les
distributions.


2. Théorie des semigroupes, problèmes d’evolution.


3. Compléments sur la méthode de Fourier.


4. Illustrations sur l’équation des ondes : réversibilité, conservation
d’énergie, vitesse de propagation.


Bibliographie

[1] H. Brézis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications,
Masson, Paris, 1983.

[2] I. G. Petrovsky, Lectures on Partial Differential Equations,
Dover,
New York, 1991.

[3] P.-A. Raviart, J.-M. Thomas, Introduction à l’analyse
numérique des
équations aux dérivées partielles, Masson, Paris, 1983.

[4] L. Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences
physiques,
Hermann, Paris, 1961.

[5] S. L. Sobolev, Partial Differential Equations of Mathematical
Physics, Dover, New York, 1989.

[6] A. N. Tikhonov, A. A. Samarskii, Equations of
Mathematical Physics, Dover, New York, 1990.

Optimisation et contrôle
Bopeng Rao

Description du cours


L’objet du cours est une introduction à la théorie de stabilisation et de
controlabilité exacte de systèmes
hyperboliques. Le cours contient une courte introduction aux semi-groupes
linéaires et est accessible à tous les étudiants
ayant une bonne connaissance en analyse fonctionnelle et en théorie des
espaces de Sobolev.


1. Introduction aux semi-groupes linéaires et application aux
problèmes d’évolution.


2. Systèmes non-dissipatifs, systèmes faiblement couplés : solutions
faibles, taux de décroissance de l’énergie via la
théorie des bases de Riesz, analyse fréquentielle de systèmes
distribués.


3. Systèmes hyperboliques semi-linéaires et quasi-linéaires :
méthodes de caractéristiques,
solution globale, solution C^1" semi-globale, controlabilité exacte locale.


Bibliographie


[1] Li Ta-tsien, Global Classical Solutions for Quasilinear Hyperbolic
Systems
, Research in Applied Mathematics,
Masson/John Wiley, 1994.


[2] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et
stabilisation de systèmes distribués
, Vol. I, Masson, Paris, 1988.


[3] Z. Liu, S. Zheng, Semigroups associated with dissipative
systems
, Chapman & Hall/CRC, 1999.


[4] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications
to partial differential equations
, Springer-Verlag, New York, 1983.

Méthodes numériques adaptatives
pour les lois de conservation
Eric Sonnendrücker

Description du cours


Les lois de conservation apparaissent dans une grande variété
d’applications physiques, par exemple les équations d’Euler de la dynamique
des fluides, les équations de Maxwell en électromagnétisme,
l’équation de Vlasov pour le déplacement de particules chargées. Dans ce
cours, apres un bref rappel des résultats théoriques, nous présenterons
les méthodes numériques utilisées actuellement pour les résoudre.
Dans une première partie, nous introduirons les méthodes numériques
classiques pour résoudre ce genre de problèmes. Nous insisterons
en particulier sur la méthode des volumes finis.
La plupart des problèmes issus de lois de conservation ne nécessitent
pas un maillage uniforme de l’espace physique. Par contre, il est
nécessaire si l’on veut conserver un maillage quasi-optimal de le
faire évoluer en temps. Nous nous intéresserons donc aux techniques
d’adaptation de maillage, en particulier aux estimations a posteriori
et aux méthodes multi-résolution.


1. Exemples de lois de conservation provenant de la physique.


2. Théorie des équations hyperboliques scalaires : solutions classiques,
méthode de caractéristiques, solutions faibles, solutions
entropiques, conditions de saut de Rankine-Hugoniot, équation de Vlasov.


3. Méthodes numériques : méthode semi-Lagrangienne, méthode des volumes
finis,
schéma de Godunov.


4. Estimations a posteriori.


5. Analyse Multi-Résolution. Ondelettes. Adaptation de maillage.


Bibliographie


[1] D. Kroener, Numerical Schemes for conservation laws, Wiley, Teubner
1997.


[2] R. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge
Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.


[3] A. Cohen, Wavelet methods in numerical analysis. Handbook of Numerical
Analysis,
vol. VII, P.-G. Ciarlet and J.-L. Lions eds., Elsevier, Amsterdam, 2000.


[4] R. Abgrall, H. Guillard, Modélisation numérique des fluides
compressibles, North-Holland,
Gauthier-Villars, 2001.


[5] D. Serre, Systèmes de lois de conservation, vol. I et II, Diderot, 1996.


[6] E. Godlewski, P.-A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic
systems of conservation laws, Springer-Verlag, 1996.

Equations aux dérivées partielles non linéaires
Petra Wittbold

Description du cours


De nombreux problèmes en physique et chimie conduisent à l’étude
des équations aux dérivées partielles non linéaires (e.d.p.) et
des problèmes aux limites associés.


L’objet de ce cours est de fournir quelques méthodes classiques de
résolution des problèmes aux limites pour des e.d.p. non linéaires
(théorèmes de point fixe, méthode de Galerkin, méthode de
monotonie, de régularisation et de pénalisation, semi-groupes non
linéaires). Ces méthodes seront appliquées à la résolution
de quelques problèmes d’évolution non linéaires provenant des
applications (problèmes paraboliques du type diffusion, problèmes de
Stefan, problèmes elliptiques-paraboliques modélisant l’écoulement
d’un fluide à travers un milieu poreux). Pour chacun de ces
problèmes et pour des notions de solutions différentes, on étudie
les questions d’existence et d’unicité ainsi que de stabilité. Une
dernière partie du cours sera consacrée à une introduction à la
théorie récente des solutions renormalisées des e.d.p. non
linéaires.

Bibliographie

[1] Ph. Bénilan, P. Wittbold, On mild and weak solutions
of elliptic-parabolic problems
, Adv.in Diff. Equ. 1 (1996),
1053-1073.


[2] Ph. Bénilan, J. Carrillo, P. Wittbold, Renormalized
entropy solutions of scalar conservation laws
, Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa Cl. Sci. 29 (2000), 313-329.


[3] R. DiPerna, P.-L. Lions, On the global existence for
Boltzmann equations : global existence and weak stability
, Ann. Math. 130
(1989), 321-366


[4] L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS,
Providence, 1998.


[5] L.C. Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear
Partial Differential Equations
, AMS, Providence, 1990.


[6] J.-L. Lions, Quelques méthodes de résolution des
problèmes aux limites non linéaires
, Dunod, Paris, 1969.


[7] P.-L. Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Vol.
I
, Clarendon Press, Oxford, 1996.


[8] E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its
Applications, Vol. II/A and II/B
, Springer, Berlin, 1990.



ARITHMETIQUE, GEOMETRIE ET TOPOLOGIE
Résolutions de singularités et noeuds algébriques
Vincent Blanloeil

Description du cours


Le but de ce cours est de démontrer le théorème de Lê sur
l’équivalence entre l’isotopie et la concordance pour les noeuds
algébriques de dimension un, ainsi que le théorème
\mu-constant de Lê-Ramanujam. On
regardera ensuite des résultats récents sur les entrelacs à l’infini.


1. Théorème de préparation de Weierstrass


2. Théorie de Newton-Puiseux


3. Noeuds algébriques


4. Résolutions des singularités de courbes planes


5. Concordance, isotopie des noeuds algébriques,
problème \mu">-constant


6. Entrelacs à l’infini


Bibliographie

[1]
E. Brieskorn, H. Knoerrer,
Plane algebraic curves,
Birkhäuser (1986).

[2] A. Chenciner,
Courbes algébriques planes,
Publications de Paris VII.

[3] D. Eisenbud, W. Neumann,
Three-dimensional link theory and invariants of plane curve
singularities
,
University Press (1985).

[4] Lê Dung Tráng,
Sur les noeuds algébriques,
Compositio Math. 25 (1972), 281-321.

[5]
Lê Dung Tráng, C. P. Ramanujam,
The invariance of Milnor’s number implies the invariance of the
topological type
,
Amer. J. Math. 98 (1976), 67-78.

[6] J. Milnor,
Singular points of complex surfaces,
Princeton Univ. Press.

[7] F. Michel, C. Weber,
Noeuds et entrelacs.

Géométrie symplectique
Martin Bordemann

Description du cours


La géométrie symplectique fait partie de la
géométrie différentielle : le point de départ est
un champ de tenseurs non dégénéré de rang 2 -comme la métrique
riemannienne en géométrie riemannienne- qui est
antisymétrique et fermé (contrairement au cas riemannien).
À l’aide de cette structure,on peut
d’abord associer à chaque fonction de classe C^\infty
à valeurs réelles un champ de vecteurs (le champ hamiltonien),
dont le flot généralise la version hamiltonienne des équations
de Newton en mécanique classique. Le fibré cotangent d’une
variété différentiable arbitraire est toujours muni d’une
forme symplectique canonique. Ensuite, il y a sur l’espace
des fonctions une structure de Lie, le crochet de Poisson,
qui permet de transférer des symétries décrites par des
algèbres de Lie dans cet espace de fonctions. Dans le cas
d’une symétrie abélienne, on parle souvent d’un système
hamiltonien intégrable au sens de Liouville. L’étude de
ces systèmes s’est beaucoup développée. Finalement,
on étudiera des sous-variétés particulières d’une variété
symplectique, à savoir les sous-variétés dites coïsotropes :
ces sous-variétés sont automatiquement munies d’un feuilletage
régulier, et l’espace quotient (quand il existe) est muni
d’une forme symplectique déterminée par la variété en haut. Ces espaces
réduits forment des exemples très importants, comme par exemple l’espace
projectif complexe. Je finirai ce cours avec quelques remarques sur la
quantification par déformation (une formulation de la mécanique quantique),
dont on parle beaucoup depuis les
travaux de Kontsevitch.


Bibliographie


[1]
R. Abraham, J.E. Marsden, Foundations of Mechanics.
Benjamin/Cummings, Reading, MA, 1985.

[2]
B. Fedosov, Deformation Quantization and Index Theory.
Akademie Verlag, Berlin, 1996.

QUELQUES ASPECTS DU "LEMME FONDAMENTAL".
Henri Carayol

Description du cours


Le "lemme fondamental" est en gros une égalité d’intégrales
orbitales entre deux fonctions sur des groupes réductifs. Contrairement
à ce que sa dénomination laisse supposer, il est conjectural sauf dans
quelques cas particuliers où on a pu l’établir. Ce problème constitue
d’ailleurs l’un des
grands obstacles que l’on doit surmonter si l’on veut parvenir à avancer dans
la réalisation du programme de Langlands.


Les premières preuves de cas particuliers de ce résultat ont été
obtenus
par voie
combinatoire. Plus récemment on s’est aperçu que les intégrales
orbitales
en question
pouvaient s’interpréter comme des nombres de points de certaines variétés
algébriques
(liées aux grassmanniennes et aux variétés de Deligne-Lusztig
affines) sur
des corps finis.
Par conséquent le lemme fondamental devrait avoir une interprétation
géométrique.
Il y a tout un ensemble de travaux récents et beaucoup d’activité dans
cette direction (voir
bibliographie ci-dessous).


L’idée du cours est de fournir une introduction assez élémentaire
à cet
ensemble d’idées.
On fonctionnera essentiellement avec des exemples (groupes linéaires et
unitaires)
pour lesquels on expliquera le problème. On fera le lien avec des
dénombrements soit sur
l’immeuble soit sur des grassmanniennes affines, ce qui revient au même.
L’objectif ultime
serait de donner une idée du contenu de l’article de Laumon-Rapoport
cité ci-dessous.


Bibliographie

[1]
M. Goresky, R. Kottwitz, R. McPherson, Homology of affine Springer fibers
in the unramified case (2002),
http://www.math.ias.edu/ goresky/preprints.html

[2]
D. Kazhdan, G. Lusztig, Fixed point varieties on affine flag manifolds,
Israel J. of Math. 62 (1988) 129-168.

[3]
G. Laumon, M. Rapoport, A geometric approach to the fundamental lemma
for unitary groups (1997), http://arxiv.org/abs/math.AG/9711021

[4]
J.-L. Waldspurger, Comparaison d’intégrales orbitales pour des groupes
p-adiques, Proceedings ICM Zurich 1994.

[5]
J.-L. Waldspurger, Intégrales orbitales nilpotentes et endoscopie pour les
groupes classiques non
ramifiés, Astérisque 269, 2001.

Géométrie des groupes
Thomas Delzant


Description du cours


Le but de ce cours est d’introduire aux méthodes récentes de la théorie
géométrique des groupes (courbure mésoscopique), l’objectif étant de
donner une construction des groupes aléatoires de Gromov, et si le temps le
permet, des groupes lacunaires et autres monstres de Tarski. Le plan serait le
suivant.


1. Espaces métriques.
Espaces géodésiques. Convergence de Hausdorff, ultra produits,
inégalité
d’Alexandroff. Quasi-isométrie.


2. Géométrie et topologie des espaces à courbure négative.
Convexité géodésique, epsilon convexité. Courbure mésoscopique ,
théorème de Cartan-Hadamard.


3. Application à la théorie des groupes.
Groupes à petite simplification, graphes expanseurs, propriété T et
groupes aléatoires.
Groupes aléatoires et monstres de Tarski.


Bibliographie

[1] M. Bridson, A. Haefliger, Metric spaces of non positive
curvature.
Springer 1999.

[2] M. Gromov, Random walk in random groups, GAFA 2003, à
paraître.

[3] A. Yu Olshanskii, Geometry of defining relations in groups.
Kluwer
1991.

Régularité de Castelnuovo-Mumford.
Applications à la théorie de l’élimination
et à l’étude des équations de Pfaff algébriques
J.-P. Jouanolou


Description du cours

Partie 1. Préliminaires d’algèbre homologique.


Foncteurs Ext et Tor.


Cohomologie des faisceaux.


Cohomologie locale.


Profondeur, dimension, formule d’Auslander-Buchsbaum.

Partie 2. Régularité de Castelnuovo-Mumford des modules gradués.


Définition au moyen de la cohomologie locale et
propriétés
de base.


Caractérisations en termes de foncteurs Ext et de
foncteurs Tor.


Régularité de Castelnuovo et résolutions graduées
libres
finies.


Régularité de Castelnuovo et séries de Hilbert.

Partie 3. Algèbres associées à un module.


Algèbres symétriques. Dimension et critères d’Avramov.


Algèbres de Rees. Comparaison avec les algèbres
symétriques et
applications à l’étude des éclatements.


Cas des modules (pluri)-gradués.


Complexes d’approximation et modules de type linéaire.

Partie 4. Réductions des idéaux et lien avec la régularité de
Castelnuovo des algèbres qui leur sont associées.

Partie 5. Applications.


Applications à la théorie de l’élimination et
notamment au
problème de l’implicitisation.


Régularité de Castelnuovo des solutions algébriques d’un
système de Pfaff algébrique.

Topologie et géométrie des surfaces
Athanase Papadopoulos


Description du cours


Compléments de topologie (groupe fondamental,
revêtements, classification des surfaces), structures
hyperboliques sur les surfaces.


Coordonnées de Fenchel et Nielsen et
espace de
Teichmüller (l’espace des classes d’équivalence des structures
hyperboliques sur une surface).


Métrique de Teichmüller et métrique de Thurston.


Compactifications l’espace de Teichmüller.


Travaux classiques sur les feuilletages mesurés
et travaux récents sur les feuilletages affines.


Déformation de structures hyperboliques, les
twists de Fenchel-Nielsen, les tremblements de terre et les
stretch maps de Thurston.

Bibliographie


[1] A. Fathi, F. Laudenbach,
V. Poenaru, Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque Vol. 66-67.

[2] S. P. Kerckhoff, Lines of minima in Teichmüller space,
Duke Math. J. 65 (1992), 187-213.

[3] S. P. Kerckhoff, Earthquakes are analytic, Comment. Math.
Helv. 60 (1985), 17-30.

[4] S. P. Kerckhoff, The Nielsen realization problem, Ann. of
Math. 117 (1983), 235-265.

Dernière mise à jour le 2-03-2010