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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > DEA 2001-2002

DEA 2001-2002



Géométrie et autodualité


Olivier Biquard et Marcus Slupinski


Résumé : après avoir introduit les concepts de base de la
géométrie (fibré, connexion, courbure, métrique), on

étudiera le cas
de la dimension 4, où se manifeste le phénomène
d’autodualité, et on
aboutira à la construction de métriques autoduales : instantons
gravitationnels, métriques de Pedersen—Hitchin...


Plan du cours

1) Variétés différentielles réelles et complexes ; champs de
vecteurs, groupes et algèbres de Lie, Frobenius ; formes
différentielles, lemme de Poincaré, cohomologie de de Rham.


2) Fibrés, connexions, courbure. Distribution horizontale, courbure
nulle. Exemple : métrique riemannienne, connexion de Levi—Civita,
courbure riemannienne ; espaces à courbure constante : sphères,
espaces projectifs et hyperboliques ; métrique de Fubini—Study.

3) Classes caractéristiques ; formule de Gauss—Bonnet,
caractéristique
d’Euler et signature en dimension 4.


4) Métriques d’Einstein, exemples. Inégalité de Hitchin—Thorpe,
contre-exemples.


5) Tenseur de Weyl, métriques conformément
plates. Opérateur de Hodge, autodualité. Métriques
hyperkählériennes, surfaces K3.


6) Constructions explicites de métriques autoduales : instantons
gravitationnels (ansatz de Eguchi—Hanson), métriques d’Einstein
autoduales de Pedersen et Hitchin.


Bibliographie


[1] S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Universitext,
Springer-Verlag, Berlin, 1990.


[2] A. Besse, Einstein manifolds, Ergebnisse der Mathematik
und ihrer
Grenzgebiete 10, Springer-Verlag,
Berlin, 1987.



Equations différentielles dans le champ complexe et fibrés vectoriels

Andrey Bolibrukh


Résumé :
Dans ce cours nous donnerons une introduction à
la théorie analytique des équations différentielles linéaires
du point de vue des fibrés vectoriels et des connexions méromorphes.
Nous montrerons comment l’application de méthodes simples de géométrie
algébrique a permis des progrés importants dans l’étude de
problèmes classiques en théorie analytique des équations
différentielles, comme
le problème de Riemann—Hilbert et le problème de la forme standard de
Birkhoff.


Plan du cours


1) Classification des points singuliers des équations différentielles
dans le champ complexe.
Points singuliers fixes, points singuliers mobiles. Propriété
de Painlevé.


2) Equations linéaires à points singuliers réguliers.
Systèmes fuchsiens (étude locale).


3) Fibrés vectoriels, connexions.


4) Monodromie d’une connexion. Système d’équations différentielles
à points singuliers réguliers sur la sphère de Riemann.
Egalité de Fuchs. Equation hypergéometrique.


5) Problèmes inverses de la théorie analytique des équations
différentielles : problème de Riemann—Hilbert, problème de Birkhoff.


6) Notion de stabilité d’un fibré vectoriel muni d’une connexion.
Application aux problèmes de Riemann—Hilbert et de Birkhoff.


7) Problème de Riemann—Hilbert avec paramètres et propriété

de Painlevé. Equation de Schlesinger.


Bibliographie


[1] D. V. Anosov, A. A. Bolibruch, The Riemann—Hilbert Problem, Aspects of
Mathematics, Braunschweig, Vieweg, 1994.


[2] P. Deligne, Equations différentielles à points singuliers
réguliers, Lecture Notes in Math. 163, Springer-Verlag, Berlin-New
York, 1970.


[3] S. K. Donaldson, P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds,
Clarendon Press, Oxford, 1990 (chapitre 2).


[4] F. R. Gantmacher, Théorie des matrices, Dunod, Paris, 1966 (chapitres 8
et 14).


[5] Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, Boston,
Basel, Stuttgart, 1982 (chapitre 4).




Introduction à la quantification par déformation


Martin Bordemann


Résumé : Une variété de Poisson (M,P) est une
variété différentiable munie d’un champ de bivecteurs
P \in \Gamma (\Lambda^2 TM) tel que pour toutes fonctions f,g de classe
C^{\infty}(M) à valeurs réelles sur M, l’application bilinéaire
(f,g) \mapsto P(df,dg), le crochet de Poisson, soit un crochet
de Lie. En particulier, chaque variété symplectique (M,\omega)
est une variété de Poisson. Le sujet de la quantification par
déformation
selon [1] est la déformation formelle associative de l’algèbre
associative commutative C^{\infty}(M) (l’espace de toutes les fonctions
de classe C^{\infty} à valeur réelles sur M) telle que le commutateur
d’ordre 1 est égal au crochet de Poisson. Plus précisément, sur
l’espace C^{\infty}(M)[[\lambda]]

de toutes les séries formelles à coefficients dans
C^{\infty}(M),
on cherche une multiplication
\star:C^{\infty}(M)[[\lambda]] \times C^{\infty}(M)[[\lambda]] \leftarrow C^{\infty}(M)[[\lambda]]
(le star-produit) qui soit bilinéaire par rapport à l’anneau de toutes les séries formelles à coefficients réels, associative et telle que
 f \star g = fg(mod \lambda)
et
f \star g - g \star f = \lambda P (df,dg) (mod \lambda^2).
La multiplication déformée \star prend la forme d’une série formelle
\star = \sum^\infty_{r=0}\lambda^r M_r
où on demande en plus que les
M_r soient des opérateurs bidifférentiels sur C^{\infty}(M).
Cette construction avait été motivée par les developpements
limités en
\lambda=i^{\star}n
de la multiplication des opérateurs différentiels dans la mécanique quantique. Il est assez difficile de satisfaire la condition
d’associativité de
\star
et une démonstration d’existence n’a été établie qu’en 1997 par M. Kontsevitch [4] pour toutes les variétés de Poisson. Une démonstration pour les variétés symplectiques
avait été
trouvée par M. DeWilde et P. Lecomte en 1983 et par B. Fedosov en 1985,
voir
[3].


Le but de ce cours de DEA est une introduction à cette théorie et
comprend
— grosso modo— les parties suivantes :


Plan du cours


1) Calcul symbolique des opérateurs différentiels et convolution
``twistée’’
comme motivations.


2) Rudiments sur les variétés de Poisson.


3) Définition de la structure.

4) Existence pour les variétés symplectiques à la Fedosov.


5) Classification des star-produits dans le cas symplectique par H^2_{dR}(M).


6) Quantification des actions hamiltoniennes des groupes de Lie
compacts à la Fedosov.


Bibliographie


La source principale sera le livre [3] de Fedosov.


[1]
F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer,
Deformation Theory and Quantization,
Annals of Physics 111 (1978), 61—110, 111—151.


[2] M. Bordemann, N. Neumaier, S. Waldmann, Homogeneous Fedosov
Star Products on Cotangent Bundles I : Weyl and Standard Ordering
with Differential Operator Representation,
Comm. Math. Phys. 198 (1998), 363—396.


[3] B. Fedosov, Deformation Quantization and Index Theory, Mathematical
Topics
9
, Akademie Verlag, Berlin, 1996.


[4] M. Kontsevitch, Deformation Quantization of Poisson Manifolds, I,
Preprint q-alg/9709040, Septembre 1997.




Eléments d’analyse harmonique


Olivier Gebuhrer


Résumé : Le Cours se propose d’introduire à des aspects variés
d’analyse harmonique commutative et non commutative : tous les thèmes
abordés font l’objet de recherches très actives.


Plan du cours


1) Théorie des opérateurs sur un espace de Hilbert


L’objectif est de parvenir à introduire le calcul
symbolique H^{\infty} sur certaines contractions d’un espace de
Hilbert : ceci permet de commencer l’etude du probleme du sous-espace
invariant tout en utilisant des méthodes de variable complexe.


2) C*-algèbres et algèbres de von Neumann


L’objectif est de donner des éléments permettant à la fois
d’intégrer le
matériel précédent dans son cadre naturel et d’aborder ensuite la
théorie de la représentation des groupes localement compacts.


3) L’algèbre de Fourier—Eymard d’un groupe localement compact


Bien que cette approche soit très loin d’embrasser la complexité de la
théorie des représentations et en particulier des groupes de Lie, elle
permet d’accéder de facon très naturelle à tout un ensemble de
problèmes, liés aux précédents, et d’avoir immédiatement une vue
d’ensemble.


4) Analyse de Fourier sphérique


Complémentaire du chapitre précédent, on y introduit les paires de
Gelfand, leur généralisations naturelles que sont les
hypergroupes commutatifs et on considère diverses questions d’analyse
harmonique classique à travers un outil fondamental : le calcul symbolique
de Dixmier.


Bibliographie


[1] B. Beauzamy, Introduction to operator theory and invariant subspaces,
North-Holland Mathematical Library 42, North-Holland Publishing Co.,
Amsterdam,
1988.


[2] R. Kadison, J. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator
algebras, Vol. I,
Elementary theory, Pure and Applied Mathematics 100 Academic Press,
New York,
1983.


[3] R. Gangolli, V. S. Varadarajan, Harmonic Analysis of spherical
functions on real
reductive groups, Ergebnisse der Mathematik und
ihrer Grenzgebiete 101, Springer-Verlag, Berlin, 1988.




Classes caractéristiques


Hans-Werner Henn


Plan du cours


1) Fibrés vectoriels et variétés grassmanniennes.


2) Cohomologie singulière.


3) Cohomologie des grassmanniennes.


4) Classes de Stiefel—Whitney, classes de Chern et de
Pontryagin.


Bibliographie

[1] D. Husemoller, Fibre Bundles, Graduate Texts in Mathematics 20,
Springer-Verlag, New York, 1994.


[2] J. Milnor, J. Stasheff, Characteristic Classes, Annals of Math. Studies
76, Princeton University Press, Princeton, 1994.




Cobordisme et groupes formels


Hans-Werner Henn


Plan du cours


1) Théories d’homologie et groupes formels associés.


2) Groupe formels, Théorème de Lazard.


3) Cobordisme, Théorème de Quillen.

4) Déformations de groupes formels et théories d’homologie.
associées


Bibliographie


[1] M. Hazewinkel, Formal groups and applications, Pure and Applied
Mathematics
78, Academic Press, New
York-London, 1978.


[2] J. Lubin, J. Tate, Formal moduli for one parameter formal Lie
groups,
Bull. Soc. Math. France 94 (1966), 49—59.


[3] D. Quillen, Elementary proofs of some results of
cobordism theory using Steenrod operations, Advances in Mathematics
7
(1971),
29—56.


[4] D. Ravenel, Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres,
Pure and Applied Mathematics 121, Academic Press, Orlando, 1986.




Asymptotique Gevrey et applications aux
équations différentielles singulièrement perturbées


Reinhard Schäfke


Résumé : L’asymptotique Gevrey est un ``raffinement’’ de
l’asymptotique ``classique’’, c’est-à-dire au sens de Poincaré, ayant la
propriété importante que toute fonction ``plate" (c’est-à-dire
asymptotique

à la série zéro) est exponentiellement petite.


Cette propriété — qui est souvent indispensable pour la construction
de ``vraies" solutions en utilisant des solutions formelles — en fait un
outil important, en particulier en théorie des équations
différentielles singulièrement perturbées.


Plan du cours


1) Séries Gevrey et développements asymptotiques Gevrey.


2) Lien avec des fonctions exponentiellement petites et théorème de
Ramis—Sibuya.


3) Sommabilité et multi-sommabilité.


4) Autres outils : familles de normes, sommation Borel—Laplace et
lemme de Gronwall.


5) Méthodes de démonstration du caractère Gevrey : séries
majorantes et
``cohomologie".


6) Application aux équations différentielles à solutions ``canards".

7) Application à la conjecture de Wasow.


8) Application à la résonance au sens d’Ackerberg—O’Malley.


9) Invariants analytiques d’équations différentielles singulièrement
perturbées et problèmes inverses.


Bibliographie


[1] W. Balser, Formal power series and
linear systems of meromorphic ordinary differential equations, Universitext,
Springer-Verlag, New York, 2000.


[2] M. Canalis-Durand, Annexe sur l’asymptotique Gevrey,
Mémoire d’habilitation, Aix-Marseille 1999.


[3] M. Canalis-Durand, J.-P. Ramis, R. Schäfke, Y. Sibuya,
Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations,
J. Reine Angew. Math. 518 (2000), 95—129.

[4] A. Fruchard, R. Schäfke, Overstability and resonance,
preprint IRMA (2000).


[5] P. Hsieh, Y. Sibuya,
Basic theory of ordinary differential equations,
Universitext, Springer-Verlag, New York, 1999.


[6] C. Stenger, Points tournants de systèmes d’équations
différentielles ordinaires singulièrement perturbées, thèse,
prépublication IRMA (1999).




Corps locaux


Jean-Pierre Wintenberger


Résumé : Il s’agit de présenter la théorie classique des corps
locaux. Soit p un nombre premier. Par corps local, nous entendons
un corps valué complet pour une valuation discrète à corps résiduel parfait de caractéristique p.
Des exemples importants en théorie des nombres sont
les extensions finies du complété Q_p de Q pour la valuation p-adique.

Plan du cours


1) Anneaux de valuation, vecteurs de Witt.


2) Ramification.


3) Groupes formels, modules de Tate, extensions abéliennes des
corps locaux.


4) Corps gauches de centre un corps local.


Bibliographie


[1] J.-P. Serre, Corps locaux, Publications de l’Université de Nancago
VIII,
Hermann, Paris, 1968.


[2] Algebraic Number Theory (chap. 1 et 6), Proceedings of the instructional
conference held at the University of Sussex, Brighton, September 1—17, 1965,
édité par J. W. S. Cassels et A. Fröhlich, Academic Press,
London, 1986.




Représentations p-adiques semi-stables du groupe de
Galois d’un corps local


Jean-Pierre Wintenberger

Soit K un corps local ; K \bar(K) une clôture
algébrique de K et g_K le groupe de Galois de \bar{K}/k
. Une représentation p-adique
de G_K est une représentation continue de G_k dans
GL_{Q_p}(V), où V est un Q_p-espace
vectoriel de dimension finie. Fontaine a introduit une classe
de représentations p-adiques, les représentations

p-adiques semi-stables. Des représentations p-adiques
que l’on rencontre dans certains problèmes de géométrie
arithmétique sont semi-stables :
par exemple les représentations p-adiques qui proviennent de
l’action de G_K
sur le module de Tate des groupes
formels p-divisibles sur l’anneau de valuation de K.
Un avantage de ces représentations
semi-stables est que leur donnée est équivalente

à un objet d’algèbre
linéaire, leur module de Dieudonné filtré, qui est dans de nombreux
problèmes d’un maniement plus aisé que la représentation
p-adique elle-même. L’objet du cours est de présenter
la notion de représentation p-adique semi-stable,
et de prouver un résultat récent de P. Colmez et
J.-M. Fontaine qui donne une classification complète
des représentations p-adiques semi-stables par les
modules de Dieudonné filtrés.


Bibliographie


[1] P. Colmez, J.-M. Fontaine, Construction de
représentations p-adiques semi-stables, Invent. Math.
140 (2000), 1—43.


Spécialité Analyse Numérique


Comportement asymptotique
d’équations aux dérivées partielles

dans des domaines cylindriques tendant vers l’infini


Bernard Brighi


Résumé : On s’intéresse au comportement asymptotique de la
solution d’équations ou de systèmes d’équations aux dérivées
partielles, dans des
domaines cylindriques lorsque ceux-ci deviennent infini dans une ou
plusieurs directions. On cherche en particulier des estimations de la
différence entre la solution dans un domaine borné et la solution limite
en fonction de la dimension l tendant vers l’infini.


Plan du cours


1) Introduction aux problèmes elliptiques.


2) Quelques exemples modèles
(problèmes de Dirichlet et de Neumann sur un rectangle
]-ll,l[\timesI
avec l tendant vers l’infini).


3) Une théorie asymptotique générale pour les problèmes elliptiques
linéaires.


4) Problèmes elliptiques non linéaires
(inéquations variationnelles, problèmes quasi-linéaires,
problèmes fortement non linéaires).

5) Comportement asymptotique de quelques problèmes elliptiques non
linéaires.


6) Systèmes elliptiques.


7) Comportement asymptotique des systèmes elliptiques
(systèmes vérifiant la condition de Legendre, système de
l’élasticité).


8) Equations paraboliques.


9) Comportement asymptotique des équations paraboliques
(cas linéaire, cas non linéaire).


Bibliographie


[1] H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Masson, 1983.


[2] M. Chipot, A. Rougirel, Sur le comportement asymptotique de la
solution de problèmes elliptiques dans des domaines cylindriques tendant
vers l’infini, CRAS, 331, Série I (2000), 435—440.


[3] D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations
of second order, Springer-Verlag, 1983.


[4] D. Kinderlehrer, G. Stampacchia, An introduction to variational
inequalities and their applications, Academic Press, 1980.




Optimisation et contrôle


Bopeng Rao et Vilmos Komornik


Résumé : Le but de la première partie est d’initier les

étudiants
à la théorie de l’optimisation d’une part, et d’autre part, de
présenter quelques algorithmes numériques les plus utilisés. Dans la
deuxième partie, on donne une introduction à la théorie du contrôle
de systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires
ou aux dérivées partielles. On présente plusieurs méthodes
générales pour l’étude de tels problèmes.


Plan du cours


I. Optimisation


Théorie : Calcul des variations, fonctions convexes ;
conditions d’optimalité, équation d’Euler et multiplicateurs de Lagrange.
Programmation non-linéaire, point selle, théorie de dualité.
Programmation linéaire. Programmation dynamique.


Algorithmes : Algorithmes de descente,
algorithmes newtoniens, algorithmes de dualité, algorithmes de
pénalisation, algorithme de décomposition, algorithme du simplexe
et algorithmes de points d’intérieurs.


II. Contrôle


1) Problèmes d’observabilité. Méthodes d’analyse harmonique. Méthodes
des multiplicateurs.


2) Problèmes de contrôlabilité. Méthode de dualité.


3) Problèmes de stabilisation. Fonctions de Lyapunov. Commande linéaire
quadratique.


Bibliographie


[1] J. Bonnans, J. Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizábal,
Optimisation numérique : Aspects théoriques et pratiques, Springer,
Paris, 1997.


[2] J. Céa, Optimisation : Théorie et algorithmes, Dunod, Paris, 1971.


[3] P. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et

à l’optimisation, Dunod, Paris, 1998.


[4] J.-L. Lions, Exact controllability, stabilizability, and perturbations for
distributed systems, Siam Rev. 30 (1988), 1—68.


[5] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte et stabilisation de systèmes
distribués, Vol. 1, Masson, Paris, 1988.




Méthodes numériques pour les équations aux dérivées
partielles


Eric Sonnendrücker


Résumé : Le but de ce cours est d’initier les étudiants
d’une part aux techniques utilisées pour la résolution de grands
systèmes linéaires et d’autres part aux méthode rapides de
résolution numérique des équations aux dérivées partielles sur
des maillages structurés et à leur analyse numérique.


Plan du cours


I. Résolution numérique de grands systèmes linéaires


1) Représentation des réels sur un ordinateur. Matrices pleines,
matrices creuses.


2) Méthodes directes pour la résolution
numérique d’un système linéaire :


Analyse d’erreur.
Amélioration de la précision. Algorithmes par blocs. Utilisation
des BLAS.


3) Méthodes itératives pour la résolution de grands systèmes
linéaires :
méthodes de sous-espaces de Krylov, réconditionnement, calcul
numérique de valeurs propres.


4) Méthode multigrille.


II. Résolution numérique d’EDP


1) EDP elliptiques : méthode des différences finies, transformée de
Fourier rapide.

2) EDP paraboliques et hyperboliques :
rappels et compléments sur la méthode des différences finies.
Analyse numérique des schémas : consistance, stabilité, convergence.
Problèmes en dimensions 2 et 3 : méthode des pas
fractionnaires.


3) Introduction aux méthodes spectrales.


Bibliographie


[1] J. J. Dongarra, I. S. Duff, D. C. Sorensen, H. A. van der Vorst,
Numerical Linear Algebra for High-Performance Computers, ed. SIAM,
Philadelphia, 1998.


[2] J. Demmel,
Applied Numerical Linear Algebra,
Society
for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 1997.


[3] W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick,
A Multigrid Tutorial, Society
for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2000.


[4] B. Gustafsson, H.-O. Kreiss, J. Oliger, Time dependent problems and
differences methods, J. Wiley and Sons, New-York, 1995.


[5] G. I. Marchuk, Splitting and alternating direction methods, in
Handbook of Numerical Analysis, Vol. 1, P. Ciarlet and J.-L. Lions

éditeurs, ed. North-Holland, 1990.


[6] C. Bernardi, Y. Maday, Spectral methods, in Handbook of Numerical
Analysis, Vol. 5, éditeurs P. Ciarlet et J.-L. Lions, North-Holland,
Amsterdam, 1997.




Solutions renormalisées des équations aux dérivées
partielles


Petra Wittbold


Résumé : Ce cours est une introduction à la théorie des
solutions renormalisées des équations aux dérivées partielles
linéaires et non linéaires. Cette nouvelle notion de solution a été

introduite par DiPerna—Lions pour l’équation de Boltzmann en 1989, et
depuis a pu être adaptée à divers problèmes d’équations aux
dérivées partielles (linéaires et) non linéaires du type elliptique,
parabolique et hyperbolique. Dans ce cours, on introduit et étudie la
théorie des solutions renormalisées à partir et à propos
d’équations aux dérivées partielles concrètes provenant de la
physique ou de la mécanique (lois de conservation, écoulement des fluides

à travers des milieux poreux, problèmes avec changement de phase). On
rappelle d’abord les méthodes de résolution et notions de solution
classiques pour ces problèmes (méthode de viscosité, solution
entropique resp. méthodes variationnelles, solution faible), ensuite on
étudie la résolution par la théorie des solutions renormalisées.


Bibliographie


[1] J.-L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux
limites non
linéaires, Dunod, 1969.


[2] C. L. Evans, Partial differential equations, Providence,
AMS, 1998.


[3] R. DiPerna, P. L. Lions, On the Cauchy problem for the Boltzmann
equation : global existence and stability, Ann. of Math. 130 (1989),
321—366


[4] Ph.
Bénilan, L. Boccardo, Th. Gallouet, R. Gariepy, M. Pierre, J. L. Vazquez,
An
-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic
equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 22 (1995), 241—273.


[5] D. Blanchard, F. Murat,
Renormalised solutions of nonlinear parabolic problems with
-data : existence
and uniqueness, Proc. Royal Soc. Edinburgh 127A (1997), 1137—1152.


[6] Ph. Bénilan, J.
Carrillo, P. Wittbold, Renormalized entropy solutions of scalar
conservation
laws, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 29 (2000), 313—329.




Spécialité Probabilités et Statistiques




Echantillonnage et expérimentation


Dominique Collombier


Plan du cours


I. Planification et analyse des expériences industrielles


1) Ajustement
d’une surface de réponse par un modèle polynomial. Examen graphique et
test d’adéquation d’un modèle, extension d’un modèle. Exploration d’une
surface de réponse.


2) Plans euclidiens d’ordre 1 : identification des facteurs actifs. Plans
euclidiens d’ordre 2 : prédiction de la réponse, isovariance.


3) Construction de plans euclidiens d’ordre 1 puis 2 : plans ,
plans
composites centrés, plans de Box—Benkhen. Plans d’expérience en blocs.


4) Applications industrielles (recherche-développement, amélioration de la
qualité).


II. Echantillonnage d’expériences simulées


1) Méthodes de Monte Carlo et de quasi-Monte Carlo. Suites de faible
discrépance.


2) Echantillonnage par hypercube latin, par tableaux orthogonaux, par
-suites...


3) Applications à l’intégration numérique et à l’approximation de
fonctions simulées.


Bibliographie


[1]
R. H. Myers, D. C. Montgomery, Response Surface Methodology, John Wiley &
Sons, 1995.


[2]
C. F. J. Wu, M. Hamada, Experiments.
Planning, analysis, and parameter design optimization, Wiley Series in
Probability and Statistics : Texts and References Section, John Wiley & Sons,
New York, 2000.


[3] H. Niederreiter, Random number generation and quasi-Monte Carlo methods,
CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 63, Society
for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, 1992.




Martingales, mouvement brownien et intégrale stochastique


Jacques Franchi


But : Introduire à l’intégration stochastique par rapport

à une semi-martingale
continue et au calcul d’Itô, aussi élémentairement que possible en
restant rigoureux.


Le rythme du cours et d’éventuels développements seront décidés en
fonction de
l’auditoire.


Prérequis : Un cours de base sur les probabilités, de
niveau maîtrise.


Plan du cours


1) Rappels et compléments : Intégrabilité uniforme, espérance
conditionnelle,
intégrale de Stieltjes, variables gaussiennes.


2) Martingales discrètes : Définitions, exemples, théorème
d’arrêt, inégalité
de Doob, théorème de convergence.

3) Mouvement brownien réel : Définition, propriétés,
régularité des trajectoires,
mesure de Wiener.


4) Martingales continues : Définitions, inégalités, arrêt,
convergence.


5) Intégration stochastique : Martingales locales, variation
quadratique,
intégrale d’Itô, semi-martingales.


6) Calcul stochastique élémentaire : Formule d’Itô,
inégalités, représentation
des martingales browniennes ; un exemple financier : la formule de
Black-Scholes.


7) Mouvement brownien de  : définition,
propriétés, caractérisation,
changement de temps ; problème de Dirichlet ; martingales conformes et
mouvement brownien plan.


8) Diffusions réelles : Processus de Markov, générateur
infinitésimal, fonction
d’échelle et mesure de vitesse, fonction de Green, temps local ;
processus de Bessel.




Processus stochastiques et fiabilité


Leonid Galtchouk


Plan du cours


1) Introduction à la fiabilité.


2) Processus de Poisson : propriétés générales, caractérisation,
application en fiabilité.


3) Processus ponctuels et martingales : compensateur, vraisemblance,
convergence, application en fiabilité.


4) Processus de renouvellement, théorème de Blackwell.

5) Processus markovien de sauts : équation de Chapman—Kolmogorov, loi
stationnaire, application en fiabilité.


Bibliographie


[1]
Ch. Cocozza-Thivent, Processus stochastiques et fiabilité des
systèmes, Springer-Verlag, 1997.




Convergence des suites de variables aléatoires dépendantes


Bernard Heinkel


Résumé : Les comportements asymptotiques presque sûrs et en loi
sont etudiés pour des suites de variables aléatoires vérifiant
diverses hypothèses de dépendance intervenant dans les applications
(martingale, mélange, association, etc.).


Plan du cours


1) Lois des grands nombres


La loi forte des grands nombres est étudiée pour des suites de
variables aléatoires vérifiant des conditions de dépendance issues de
l’expérimentation : indépendance deux à deux, dépendance
quadrantale positive, association, ...


2) Théorème limite central


— pour des martingales ;


— pour des suites stationnaires et mélangeantes.


3) Théorème limite central fonctionnel


— Processus empirique.


— Convergence faible du pont empirique vers un processus
gaussien.


Bibliographie


[1] P. Hall, C. C. Heyde, Martingale limit theory and its
application, North-Holland, 1980.

[2] D. Pollard, Convergence of stochastic processes, Springer-Verlag, 1984.


[3] E. Rio, Théorie asymptotique des processus aléatoires
faiblement dépendants, Springer-Verlag, 2000.

Dernière mise à jour le 2-03-2010