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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > DEA 2004-2005

DEA 2004-2005

Analyse
numérique

Stabilisation et
contrôle de systèmes hyperboliques

Bopeng RAO

Description du cours

L’objet du cours est une introduction à
la théorie de stabilisation et de
contrôlabilité exacte de systèmes
hyperboliques. Le cours contient une courte introduction de
semi-groupes linéaires et est accessible à tous les
étudiants ayant une bonne connaissance en analyse
fonctionnelle et en théorie des espaces de Sobolev.

Plan du cours

I. Introduction aux semi-groupes
linéaires et applications aux problèmes
d’évolution.

II. Taux de décroissance de
l’énergie de systèmes non-dissipatifs, et
systèmes faiblement couplés.

III. Contrôlabilité exacte de
systèmes hyperboliques quasi-linéaires et
applications aux réseaux de canaux d’irrigation.

Bibliographie

[1] Li Ta-tsien, Global Classical Solutions for Quasilinear
Hyperbolic Systems, Research in Applied Mathematics, Masson/John
Wiley, 1994.

[2] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte,
perturbations et stabilisation de systèmes
distribués, Vol. I, Masson, Paris, 1988.

[3] Z. Liu ; S. Zheng, Semigroups associated with dissipative
systems, Chapman & Hall/CRC, 1999.

[4] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to
partial differential equations, Springer-Verlag, New York,
1983.

 

Résolution
numérique de l’équation de Vlasov

Éric
SONNENDRÜCKER

Description du
cours

Les plasmas sont des gaz de particules
chargées présents dans les étoiles et dans les
couches supérieures de l’atmosphère terrestre, mais

également formés en laboratoire pour diverses
applications techniques comme les écrans à plasmas et
surtout dans le développement de la fusion
thermonucléaire, concept sur lequel sont actuellement
fournis des efforts de recherche importants dans le but d’obtenir
une source d’énergie sûre et renouvelable.

Il existe toute une hiérarchie de
modèles permettant de décrire l’évolution d’un
plasma au cours du temps. Le plus précis consiste à

décrire l’évolution individuelle de chaque particule
en considérant ses interactions avec toutes les autres. En
raison du très grand nombre de particules constituant un
plasma, ce modèle est inapplicable en pratique, on a donc
recours à des modèles approchés. Les premiers
types de modèles approchés sont les modèles
cinétiques qui reposent sur une description statistique du
plasma, l’inconnue étant la fonction de distribution f
représentant le nombre de particules à une position x
et avec une vitesse v et l’équation associée est une

équation de transport dans l’espace des phases. Ces
modèles cinétiques peuvent être soit de type
Boltzmann quand les interactions binaires entre particules proches
dominent, soit de type Vlasov quand les interactions entre les
particules sont régies par le champ moyen qu’elles
engendrent. L’équation de Vlasov est donc couplée de
manière non linéaire avec une équation
permettant de calculer le champ moyen comme l’équation de
Poisson ou les équations de Maxwell. Un dernier niveau de
modélisation est constitué par les modèles
fluides qui sont applicables quand le plasma est proche de
l’équilibre thermodynamique.

Nous nous intéresserons dans ce cours
à la résolution numérique de l’équation
de Vlasov qui est à la base de la simulation
numérique des plasmas. Nous commencerons par
présenter les résultats mathématiques sur
l’équation de Vlasov avant de présenter les
différents types de méthodes numériques
utilisées : méthodes particulaires, méthodes
spectrales, méthodes eulériennes ou
semi-Lagrangiennes. Pour chacune de ces méthodes nous
présenterons les schémas correspondants et en ferons
l’analyse. Nous comparerons également les avantages et les
inconvénients de ces méthodes. Une partie importante
du cours sera consacrée aux méthodes d’adaptation du
maillage au cours du temps pour les schémas
eulériens.

Plan du cours

I. Modélisation des plasmas

II. Étude mathématique de l’équation de
Vlasov

III. Méthodes numériques pour l’équation de
Vlasov

1. Les méthodes particulaires

2. La méthode des pas fractionnaires

3. Les méthodes spectrales

4. Les méthodes eulériennes

5. Adaptation du maillage

Bibliographie

[1] R.T. Glassey, "The Cauchy problem in kinetic
theory " (SIAM).

[2] R.L. Liboff, "Kinetic theory classical,
quantum, and relativistic descriptions" (Wiley, 2001).

[3] F. Bouchut in "Kinetic equations and
asymptotic theory", B. Perthame, L. Desvillettes ed.
(North-Holland, 2000).

[4] C.K. Birdsall, A.B. Landon, "Plasma physics
via computer stimulaton" (Mc Graw-Hill, 1992).

[5] Y.N. Grigoryev, V.A. Vshivkov, M.P. Fedoruk,
"Numerical "particle-in-cell" methods theory and applications"
(VSP, 2002).

 

Élasticité tridimensionnelle et application aux
coques

Bernard BRIGHI et Sylvia
ANICIC

Plan du cours

I. Élasticité tridimensionnelle

1) Description de l’Elasticité 3D

- Préliminaires géométriques

- Les équations d’équilibres et le principe des
travaux virtuels

- Lois de comportement des matériaux
élastiques

- Hyperélasticité

2) Résultats d’existence en Elasticité 3D

- Généralités sur le problème aux
limites de l’Elasticité 3D

- Le système de l’Elasticité
linéarisé

- Polyconvexité et résultats d’existence

II. Introduction à la théorie linéaire des
coques élastiques

1) Préliminaires géométriques

- Rappels d’algèbre tensorielle, tenseur métrique,
tenseur de courbure

2) Mesure de la déformation d’une surface

- Tenseur de déformation membranaire

- Tenseur de changement de courbure

- Lemme du mouvement rigide

3) Modèles mathématiques de coques

- Hypothèses de Kirchhoff-Love

- Dérivation des modèles de coque à partir
de l’élasticité 3D

 

 

4) Analyse asymptotique lorsque l’épaisseur tend vers
0

- Problème membranaire

- Problème de flexion

Bibliographie

[1] M. Chipot, Elements of Nonlinear Analysis,
Birkhäuser, 2000

[2] P.-G. Ciarlet, Elasticité
Tridimensionnelle, Masson, 1985.

[3] P.-G. Ciarlet, Mathematical Elasticity -
Volume III : Theory of Shells, North-Holland, 2000.

[4] P.-G. Ciarlet, Introduction to Linear Shell
Theory, Series in Applied Mathematics, Gauthier-Villars &

North-Holland 1998.

 

Équations aux
dérivées partielles non linéaires

Petra
WITTBOLD

L’objet du cours est de fournir quelques
méthodes classiques de résolution des
problèmes aux limites pour des e.d.p.s non linéaires
(théorèmes de point fixe, méthodes de
Galerkin, méthodes de monotonie, de régularisation et
de pénalisation, semi-groupes non linéaires). Ces
méthodes seront appliquées à la
résolution de quelques problèmes stationnaires et des
problèmes d’évolution non linéaires
modélisant des phénomènes de
diffusion-convection, de changement de phases ainsi que
l’écoulement des fluides en milieux poreux. Pour chacun de
ces problèmes et pour des notions de solutions
différentes, on étudie les questions d’existence et
d’unicité ainsi que de stabilité. Une dernière
partie du cours sera consacrée à une introduction

à la théorie récente des solutions
renormalisées des e.d.p.s non linéaires.

Ce cours fait partie de l’option "analyse
numérique et équations aux dérivées
partielles" comme les cours de Eric Sonnendrucker, Bopeng Rao et
Bernard Brighi.

Bibliographie

(1) Ph. Bénilan et P. Wittbold, "On mild
and weak solutions of elliptic-parabolic problems", Adv.in Diff.
Equ. 1, No. 6 (1996), 1053-1073.

(2) H. Brézis, "Analyse fonctionnelle",
Masson, Paris, 1983.

(3) H. Brézis, "Opérateurs
maximaux monotones et semi-groupes de contraction dans les espaces
de Hilbert", North Holland, Amsterdam, 1973.

(4) L.C. Evans, "Partial Differential
Equations", AMS, Providence, 1998.

(5) J.L. Lions, "Quelques méthodes de
résolution des problèmes aux limites non
linéaires", Dunod, Paris, 1969

 

 

Algèbre,
géométrie et topologie

Introduction
à la géométrie symplectique et à la
théorie de Morse

2. Homologie de Floer et conjecture d’Arnold

Michèle AUDIN et
Mihai DAMIAN

Description du cours

Le but de ce cours annuel est de donner une
démonstration de la conjecture d’Arnold (nombre de points
fixes de certains difféomorphismes symplectiques), en
mettant en place la théorie de Morse et l’homologie de
Floer, des outils puissants qui ont de nombreuses autres
applications en géométrie et topologie.

Bibliographie

[1] McDuff-Salamon, Introduction to symplectic topology.

[2] Milnor, Morse theory.

[3] Laudenbach, Symplectic geometry and Floer homology.

[4] Aebischer, Borer, Kälin, Leuenberger, Reimann,
Symplectic topology (chapitre V).

 

Introduction à
la topologie des variétés algébriques
réelles et à la géométrie tropicale I
et II

Ilia
ITENBERG

Premier semestre

Description du cours

La première partie du 16-ème
problème de Hilbert est consacrée à la
topologie des variétés algébriques
réelles, et plus particulièrement à la
topologie des courbes algébriques dans le plan projectif

RP2 et des surfaces algébriques
dans l’espace projectif RP3.

Le but de la première moitié du
cours est d’introduire des notions fondamentales de la topologie
des variétés algébriques réelles en
mettant un accent sur les constructions et les facettes
combinatoires. On montrera, en particulier, qu’il est possible de
construire des variétés algébriques
réelles de façon purement combinatoire : elles
peuvent être obtenues comme des recollements de morceaux qui
sont essentiellement des hyperplans. Cette procédure
s’appelle le patchwork combinatoire. Elle est un cas
particulier de la méthode de Viro et a de nombreuses
applications en topologie des variétés
algébriques réelles.

 

Bibliographie

  • G. Wilson, Hilbert’s sixteenth problem, Topology 17 (1978), 53-74.
  • A. Degtyarev et V. Kharlamov, Topological properties of real algebraic varieties : Rokhlin’s way, Russian Math. Surveys 55 (2000), no. 4, 735-814.
  • O. Viro, Patchworking real algebraic varieties. Prépublication, http://www.math.uu.se/ oleg/pw.ps

Deuxième semestre

Description du cours

La géométrie tropicale est un tout
nouveau domaine de mathématiques qui a connu un
progrès spectaculaire durant les quatre dernières
années. Son apparition était motivée par ses
liens multiples et profonds avec des nombreuses branches de
mathématiques (on peut citer, par exemple, la topologie, la
géométrie algébrique, la
géométrie symplectique, l’analyse complexe, les
systèmes dynamiques et la combinatoire).

La géométrie tropicale est en
rapport direct avec le patchwork combinatoire et la
déquantification de Maslov des nombres réels
strictement positifs. La déquantification de Maslov
déforme les amibes des variétés
algébriques (i.e., les images des variétés
algébriques par l’application des moments Log :
(C*)n ® Rn) à des
complexes polyédraux. Ces complexes peuvent être vus
comme des variétés algébriques sur le
semi-anneau tropical (max,+) et s’appellent les

variétés tropicales.

Le but de la deuxième moitié du
cours est de faire une introduction à la
géométrie tropicale et de présenter ses
applications à la géométrie

énumérative (complexe et réelle). En
particulier, on montrera que les invariants de Gromov-Witten de
certaines surfaces rationnelles peuvent être calculés
à l’aide d’un dénombrement de courbes tropicales.

Bibliographie

  • G. Mikhalkin, Amoebas of algebraic varieties. (A survey for Real Algebraic and Analytic Geometry Congress, Rennes, June 11-15, 2001, Rennes, France), arXiv : math.AG/0108225.
  • G. Mikhalkin, Enumerative tropical algebraic geometry. Prépublication, arXiv : math.AG/0312530.
  • J. Richter-Gebert, B. Sturmfels et T. Theobald, First steps in tropical geometry. Prépublication, arXiv : math.AG/0306366.
  • B. Sturmfels, Solving systems of polynomial equations, (chapitre 9). CBMS Regional Conference Series in Mathematics. AMS, Providence, RI 2002.

 

Opérades

Jean-Louis
LODAY

Description du cours

Les opérades (resp. les props) sont un
outil pour étudier les différents types
d’algèbres (resp. bigèbres) apparaissant dans divers
domaines des mathématiques.

Plan du cours

1. Éléments d’algèbre homologique

2. Dualité de Koszul

3. Opérades et props

4. Application à la topologie algébrique et/ou

à la combinatoire

Bibliographie

[1] Cartan, H., Eilenberg, S., Homological
algebra. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in
Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999.

[2] Fresse, B., Koszul duality of operads and
homology of partition posets. ArXiv : math.AT/0301365.

[3] J.-L. Loday, Notes on Koszul duality for
associative algebras, 1999 (11 pages),


http://www-irma.u-strasbg.fr/~loday/PAPERS/Koszuldual.ps

[4] Markl, M., Shnider, S., Stasheff, J.,
Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and
Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI,
2002. x+349 pp.

 

Courbes elliptiques I
et II

R. Noot

Description du
cours

Le but de la première partie de ce cours
annuel est de donner une introduction à la
géométrie algébrique dans le langage des
schémas, en se concentrant sur les courbes
algébriques. Je suivrai globalement le traitement
donné dans [1], chapitre II, avec des excursions vers les
chapitres I et IV. Une autre référence de base dans
la matière est [4].

Les sujets traités iront des notions de
faisceau, de schéma et de morphisme de schémas
jusqu’aux formes différentielles et diviseurs. Dans [1], la
théorie est développée sur un corps
algébriquement clos, mais pour l’utiliser dans la
deuxième partie du cours, on aura besoin d’enlever cette
hypothèse. On se servira de la première partie de
[3], qui est une bonne introduction à la
géométrie algébrique sur un corps de base
quelconque.

Dans la deuxième partie du cours, les
courbes elliptiques seront abordées dans le langage des
schémas, mais en illustrant la théorie avec une
approche explicite dès que possible.

Les résultats principaux de cette partie
du cours seront la démonstration des conjectures de Weil
pour les courbes elliptiques sur les corps finis et le
théorème de Mordell-Weil. Ces résultats sont
traités de manière élémentaire dans [6]
et, pour ce qui concerne l’étude de la fonction zêta,
dans [5]. Avec des techniques plus poussées, un traitement
plus succinct est possible, voir le chapitre 2 de [2].

Le niveau du cours se situera entre ces deux
extrêmes.

Bibliographie

[1] R. Hartshorne. Algebraic geometry, Grad.
Texts in Math. 52. Springer-Verlag, 1977.

[2] N. M. Katz et B. Mazur. Arithmetic moduli of
elliptic curves, Annals of Mathematics Studies 108. Princeton
University Press, 1985.

[3] Q. Liu. Algebraic geometry and arithmetic
curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Oxford University
Press, 2002. Traduit par Reinie Erné.

[4] D.Mumford. The red book of varieties and
schemes, Lecture Notes in Math. 1358. Springer-Verlag, 1999.

Contient les exposés Curves and their
Jacobians
, et des contributions de E. Arbarello.

[5] A. Robert. Elliptic curves, Lecture Notes in
Math. 326. Springer-Verlag, 1973.

[6] J. H. Silverman. The arithmetic of elliptic
curves, Graduate Texts in Mathematics 106. Springer-Verlag,
1986.

Dernière mise à jour le 2-03-2010