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DEA 1999-2000

GÉOMÉTRIE DES SYSTÈMES HAMILTONIENS COMPLÈTEMENT INTÉGRABLES

Michèle AUDIN

Cours du 1er semestre

Le cours sera accessible aux étudiants sortant de maîtrise.

En vue d’étudier des exemples classiques (pendule mathématique, pendule sphérique, toupies, géodésiques des ellipso...),

1. une introduction à la géométrie symplectique, crochet de Poisson, formalisme hamiltonien,
2. théorème des variables "actions-angles" et applications dans les exemples cités, problèmes de monodromie,
3. critère de non intégrabilité : le théorème de Morales-Ramis,
4. méthodes de géométrie algébrique élémentaire : courbes hyperelliptiques et géodésiques de l’ellipso.

Bibliographie

* V.I. ARNOLD, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, MIR, MOSCOU 1974.
* M. AUDIN, Spinning tops, CAMBRIDGE University Press 1996.
* R. CUSHMAN, L. BATES, Global aspects of classical integrable systems,Birkhäuser 1997.

DE LA THÉORIE DU CORPS DE CLASSES AUX CONJECTURES DE LANGLANDS

Henri CARAYOL

Cours du 1er semestre

L’idée est de faire un cours accessible aux étudiants ayant suivi celui de J.-F. BOUTOT l’année précédente. Je passerai donc la moitié des séances à définir les objets de façon aussi élémentaire que possible : représentations de groupes de Galois locaux, rudiments d’analyse harmonique p-adique, étude élémentaire des représentations admissibles irréductibles de GL(n) d’un corps local, la construction des facteurs locaux L et epsilon, quelques exemples et calculs concrets.

Mon but est de parvenir à énoncer le théorème après 7 ou 8 semaines. Dans le temps restant, j’essaierai d’expliquer de façon aussi élémentaire que possible la méthode d’Henniart pour le prouver, en admettant les points les plus techniques (relatifs à l’usage des formes automorphes).

GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

Michel COORNAERT

Cours du 1er semestre

1. Modèles de Minkowski, de Klein et de Poincaré de l’espace hyperbolique Hn .
2. Sous-espaces hyperboliques, sphère à l’infini, classification des isométries.
3. Groupes discrets d’isométries, action sur la sphère à l’infini, ensemble limite.
4. Mesures sur l’ensemble limite et applications.

Bibliographie :

* A. F. BEARDON, "The geometry of discrete groups", Graduate Texts in Mathematics, Vol. 91, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
* R. BENEDETTI, C. PETRONIO,"Lectures on hyperbolic geometry". Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992.
* P. J. NICHOLLS, "The ergodic theory of discrete groups", London Mathematical Society Lecture Note Series, 143. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
* J. G. RATCLIFFE, "Foundations of hyperbolic manifolds", Graduate Texts in Mathematics, Vol. 149, Springer-Verlag, New York, 1994.
* W. P. THURSTON, "Three-dimensional geometry and topology", Ed. Silvio Levy, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.

INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Olivier DEBARRE

Cours du 1er semestre

On se donne un corps k et des polynômes en n variables à coefficients dans k, et on étudie le lieu de leurs zéros communs dans k^n (ce qu’on appelle une variété affine). Rapidement, on se rend compte qu’il est beaucoup plus naturel de travailler dans l’ espace projectif, avec des polynômes homogènes ; les objets obtenus sont appelés variétés projectives. La géométrie algébrique projective est l’étude de ces variétés. On présentera dans ce cours les outils et techniques de base de la géométrie algébrique traditionnelle (pré-Grothendieck), le but étant d’abord de donner une idée de ce qu’est la théorie, des objets étudiés, des questions que l’on se pose et des réponses que l’on peut y apporter. Il sera suivi au second semestre par une introduction à certains développements plus récents, comme le programme de classification de Mori.

Bibliographie :

* J. HARRIS, Algebraic Geometry, A First Course, Graduate Text in Mathematics 133, Springer Verlag, 1992.
* R. HARTSHORNE, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer Verlag, 1977.
* D. PERRIN, Géométrie Algébrique, Une introduction, Savoirs Actuels, InterÉditions/Éditions, Paris, 1995.

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE MORI

Olivier DEBARRE

Cours du 2nd semestre

Ce cours est la suite du cours "Introduction à la géométrie algébrique" donné au premier semestre. La géométrie d’une variété projective dépend pour une large part de la présence de courbes rationnelles sur cette variété. On expliquera, en développant au passage les éléments nécessaires de la théorie, comment Mori a construit à partir de ce principe un ambitieux programme de classification des variétés. Plus précisément, on présentera l’aspect dit géométrique de la théorie, basé sur son célèbre lemme de cassage.

Bibliographie :

* R. HARTSHORNE, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer Verlag, 1977.
* J. KOLLÁR, Rational Curves on Algebraic Varieties. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 32, Springer Verlag, 1996.

COHOMOLOGIE DES GROUPES

Hans-Werner HENN

Cours du 1er semestre

1. Homologie et cohomologie d’un groupe : définitions et propriétés élémentaires ; interprétation du H1 et H2 ; transfert.
2. Espaces classifiants, cohomologie équivariante. Produits en cohomologie
3. Groupes finis opérant librement sur une sphère.
4. Suites spectrales.
5. SL(3,Z) ou Groupes finis opérant librement sur un produit de sphères.

Bibliographie :

* Kenneth S. BROWN, Cohomology of Groups, Springer GTM 87, 1982 (Un bon livre qui couvre une partie substantielle, et beaucoup d’autres choses, du premier semestre. L’avant-propos de ce livre contient également une liste de sujets, dont la connaissance est recommandée).
* Alejandro ADEM et R. James MILGRAM, Cohomology of Finite Groups, Springer Grundlehren 309, 1994. (Ce livre contient beaucoup d’informations surtout sur la cohomologie des groupes finis).

MODULES INSTABLES ET COHOMOLOGIE DES GROUPES

Hans-Werner HENN

Cours du 2nd semestre

1. Opérations de Steenrod et modules instables.
2. Foncteur T de Lannes et cohomologie des groupes.
3. Théorie de Quillen du point de vue des modules instables.
4. Théorème de Jackowski et McClure et généralisation.
5. Applications à l’étude de la cohomologie des groupes arithmétiques.

Bibliographie :

On discutera de quelques aspects de la cohomologie des groupes qui sont traités dans les articles suivants (les articles (5) et (6) sont des articles de synthèse et devraient donner une première impression du sujet).

* Jean LANNES, Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un p-groupe abeliens élémentaire, Publ. IHES 75 (1992).
* Lionel SCHWARTZ, Unstable Modules over the Steenrod Alegbra and Sullivan’s Fixed Point Set Conjecture, Chicago Lectures in Mathematics 1994.
* Hans-Werner HENN, Unstable modules over the Steenrod Algebra and cohomology of groups, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 63 (1998).
* Hans-Werner HENN, Cohomology of Groups and unstable modules over the Steenrod algebra, Prepublications IRMA 1998.

TECHNIQUES DE LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE RÉELLE

Viatcheslav KHARLAMOV

Cours du 2nd semestre

Le but est de montrer comment des outils variés qui viennent de différentes branches des mathématiques permettent d’aborder divers problèmes de la géométrie algébrique réelle allant de l’étude des propriétés topologiques des variétés algébriques réelles à l’étude de leurs propriétés algébriques, analytiques et géométriques.

Programme :

1. Méthodes de la topologie algébrique (groupes de transformations, théorie de Smith, cohomologie équivariante adaptée).
2. Méthodes de la topologie différentielle (théorèmes d’indice, théorie de Hodge, structures Spin et Spin^c ).
3. Méthodes de la géométrie algébrique (modèles minimaux, applications canoniques).
4. Méthodes de la géométrie différentielle (déformations de la structure complexe, métriques de Calabi-Yau, structures symplectiques et pseudo-complexes).
5. Chaque méthode sera illustrée par ces applications aux cas de courbes, surfaces et variétés de dimension 3.

Bibliographie :

* O. Ya. VIRO, Real Algebraic Plane Curves : Constructions with Controlled Topology, Leningrad Math. J., 1 (1990), no. 5.
* J.-J. RISLER, Construction d’hypersurfaces réelles, Sémibaire Nicolas Bourbaki, Nov. 1992.
* A. DEGTYAREV, V. KHARLAMOV, Halves of a real Enriques surface, Comment. Math. Helv., 71 (1996), no. 4.
* A. DEGTYAREV, V. KHARLAMOV, On the moduli space of real Enriques surfaces, C.R.Acad.Sci. Paris, Math., 324 (1997), no. 3.
* J. KOLLÁR, Real algebraic threefolds, J. Amer. Math. Soc., 12 (1999), no. 1.
* R. SILHOL, Real algebraic surfaces, Lecture Notes in Math., 1392 (1989).

VARIÉTÉS TORIQUES

Peter LITTELMANN

Cours du 1er semestre

Dans ce cours nous présenterons une introduction à la théorie des variétés toriques. La construction de ces variétés est relativement élémentaire et liée à une combinatoire très riche et intéressante.

Nous utilisons cette classe de variétés pour donner une introduction à la terminologie classique (variétés affines et projectives, morphismes, fibrés en droites, cycles, singularités, résolution des singularités) en géométrie algébrique.

Bibliographie :

* W. FULTON, Introduction to toric varieties, Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press (1993).
* T. ODA, Convex bodies and algebraic geometry, Springer Verlag (1988).

L’ESPACE DE TEICHMÜLLER

Athanase PAPADOPOULOS

Cours du 2nd semestre

Après quelques compléments de topologie (groupe fondamental, revêtements, classification des surfaces), on s’intéressera aux structures hyperboliques sur les surfaces. On montrera comment on classe ces structures à l’aide des coordonnées de Fenchel et Nielsen et on étudiera l’espace de Teichmüller, qui est l’espace des (classes d’équivalence) des structures hyperboliques sur la surface.

On décrira la métrique de Teichmüller ainsi que différentes compactifications de cet espace. On étudiera différentes techniques de déformation de structures hyperboliques, en particulier les "tremblements de terre" de Thurston. On fera aussi une introduction aux structures projectives sur les surfaces : classification (travaux de Goldman et Choi), déformations et travaux récents de McMullen sur les tremblements de terre complexes qui relient les déformations des structures hyperboliques et des structures projectives.

Bibliographie :

* S. CHOI, W. GOLDMAN, The classification of real projective structures on compact surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34 (1997), no. 2, 161-171.
* W. GOLDMAN, Projective structures with Fuchsian holonomy, Journal of Diff. Geom. 31 (1990), 791-845.
* A. FATHI, F. LAUDENBACH, V. POENARU, Travaux de Thurston sur les surfaces, Astériuque Vol. 66-67.
* KERCKHOFF, P. STEVEN, Lines of minima in Teichmüller space. Duke Math. J. 65 (1992), no. 2, 187-213.
* KERCKHOFF, P. STEVEN, Earthquakes are analytic. Comment. Math. Helv. 60 (1985), no. 1, 17-30.
* KERCKHOFF, P. STEVEN, The Nielsen realization problem. Ann. of Math. (2) 117 (1983), no. 2, 235-265.
* McMULLEN, T. CURTIS, Complex earthquakes and Teichmüller theory. J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), no. 2, 283-320./LI>
* W. P. THURSTON, Three-dimensional grometry and Topology, Vol. 1, Edited by Silvio Levy, Princeton Mathematical Series 35.

INTRODUCTION À LA COHOMOLOGIE D’INTERSECTION ET APPLICATION AUX POLYNÔMES DE KAZHDAN-LUSZTIG : 1ÈRE PARTIE

Marc ROSSO

Cours du 2nd semestre

On introduira en particulier les objets et prérequis nécessaires d’algèbre homologique, pouvant être utiles dans d’autres cours : faisceaux, catégories dérivées...

Puis on passera aux variétés stratifiées. Notion de perversité.

On introduira le complexe de faisceaux d’intersection. Invariance topologique. Dualité de Poincaré.

INTRODUCTION À LA COHOMOLOGIE D’INTERSECTION ET APPLICATION AUX POLYNÔMES DE KAZHDAN-LUSZTIG : 2ÈME PARTIE, APPLICATIONS

Marc ROSSO

Cours du 2nd semestre

L’objet est les polynômes de Kazhdan-Lusztig et la preuve de la conjecture de Kazhdan-Lusztig pour les algèbres de Lie semi-simples complexes de dimension finie.

On étudiera donc : modules de Verma, variétés de drapeaux, algèbres de Hecke, polynômes de Kazhdan-Lusztig et cohomologie d’intersection des variétés de Schubert, D-modules sur la variété de drapeaux,...

INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES p-ADIQUES ET FONCTIONS L
p-ADIQUES

Norbert SCHAPPACHER

Cours du premier semestre

Cas des caractères de Dirichlet cyclotomiques : équation fonctionnelle des fonctions L complexes, congruences de Kummer, fonctions L p-adiques.

Fonctions L p-adiques associées aux courbes elliptiques à multiplication complexe, et modulaires. Comparaison des deux cas. Lien avec points de Heegner.

Le contenu exact du cours sera modulé en fonction du public (et de l’orateur).

Bibilographie :

* K. IWASAWA, Lectures on p-adic L functions, Princeton University Press, 1972.
* N. KOBLITZ, p-adic Analysis : a Short Course on Recent work. Cambridge University Press. 1980
* S. LANG, Cyclotomic Fields 1 and 2. Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag. 1990.
* J.-P. SERRE, Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques. Lecture Notes in Math 350. 1973.
* P. DELIGNE and K A RIBET, Values of Abelian L-functions at negative Integers over Totally Real Fields. Inventiones Math,59, 227-286 (1980).
* Des travaux et preprints récents de B. PERRIN-RIOU, de NEKOVÁVR et PLATER, ainsi que de BERTOLINI et DARMON qui seront précisés au fur et à mesure du progrès du cours.

SYSTÈMES DYNAMIQUES MESURÉS, SYSTÈMES DYNAMIQUES TOPOLOGIQUES

Michel WEBER

Cours du 1er semestre

I. Le théorème ergodique ponctuel

Systèmes dynamiques mesurés, topologiques, définition et exemples — Le théorème de Von Neumann — Opérateurs unitaires — Le théorème ergodique pour les suites stationnaires du second ordre — Inégalités maximales pour les moyennes ergodiques — Le théorème de Birkhoff — Limites de Banach.

II. Propriétés spectrales-mélange

Définitions du mélange : mélange faible, mélange fort, systèmes à spectre continu — Caractérisations — Théorème de mélange spectral de Koopmann-Von Neumann — Exemples : rotations, schémas de Bernoulli, systèmes dynamiques gaussiens. Familles spectrales et représentation spectrale d’un opérateur unitaire. Régularisation spectrale. Critère spectral de Gaposhkin.

III. Convergence presque partout

Principe de Banach dans L^p(\infty(\mu) et dans 1 \leq p < \infty — Principe de continuité — Processus gaussiens, propriétés fondamentales — Critères d’entropie métrique de Bourgain et exemples d’applications (sommes de Riemann, moyennes logarithmiques).

IV. Récurrence

Récurrence simple : ensembles récurrents, homogènes, I.P. ensembles et théorème d’existence de points récurrents.

Récurrence multiple : introduction à la théorie de la récurrence multiple de Furstenberg, mesures génériques, théorème de Van der Waerden et théorème de Szémérédi.

Bibliographie :

* H. FURSTENBERG, 1981, Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory, M. B. Porter Lectures. Princeton University Press, Princeton, N.J.
* U. KRENGEL, 1989, Ergodic Theorems, W. de Gruyter Ed.
* M. WEBER, 1998, Entropie métrique et convergence presque partout, "Travaux en Cours" 56, Hermann Ed. Paris.

Dernière mise à jour le 2-03-2010