Partenaires

Logo IRMA
Logo CNRS
Logo UDS


Rechercher

Sur ce site

 
 IRMA, UMR 7501
 7 rue René-Descartes
 67084 Strasbourg Cedex
 Tél. 33 (0)3 68 85 01 29
 Fax. 33 (0)3 68 85 03 28

Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 recherche 2015-2016 > Réductions de modèles

Réductions de modèles

Ce cours présentera deux grandes familles de méthode de réduction.

2.1 Méthodes des bases réduites

Le focus dans cette première partie est sur les méthodes de réduction d’ordre pour des grands systèmes nécessitant typiquement la résolution d’équations aux dérivées partielles par exemple en utilisant la méthode des éléments finis. Ces méthodes fournissent un moyen efficace et fiable de résoudre ce type de problèmes dans le contexte d’évaluations répétées ou de temps-réel tels que l’optimisation, la caractérisation et le contrôle.
Plus précisément on s’intéresse à l’approximation par bases réduites et les estimateurs d’erreur a posteriori associés pour la résolution rapide et fiable d’équations aux dérivées partielles paramétrisées : (i) constructions d’approximations Galerkin rapidement convergentes sur un espace engendré par des snapshots provenant de la variété induite par l’espace des solutions ; (ii) des estimateurs a posteriori rigoureux et précis ; (iii) une sélection efficace et quasi-optimal d’échantillons dans l’espace des paramètres et (iv) des procédures de calculs hors-ligne/en ligne pour des évaluations rapides dans les contextes de nombreuses requêtes et de temps réel.
On parlera d’approximation primale-duale et d’estimateur d’erreur a posteriori pour des EDP elliptiques et paraboliques coercives et non coercives, d’échantillonnage glouton et POD, de calcul de bornes inférieures pour les constantes de coercivité et inf-sup ou encore de méthode d’interpolation empirique pour des problèmes à dépendance paramétrique non-affine.
Une liste détaillée de références sera fournie pour de plus amples lectures et des thèmes plus avancés.

Référence :
Prud’homme, C. ; Patera, A. T. Reduced-basis output bounds for approximately parameterized elliptic coercive partial differential equations. Comput. Vis. Sci. 6 (2004), no. 2-3, 147–162.

2.2 Convergence à deux échelles

Ce cours porte sur des résultats classiques de la théorie de la convergence à deux échelles
d’une suite de fonctions et sur des applications à l’homogénéisation d’équations aux
dérivées partielles linéaires singulièrement perturbées. L’homogénéisation permet d’étudier le comportement en moyenne des solutions de telles équations. En outre, la convergence à deux échelles est un outil efficace pour faire des simulations numériques pour des problèmes périodiques fortement oscillants.

Nous commencerons à illustrer l’aspect des variations à plusieurs échelles de fonctions périodiques et le lien entre les convergences à deux échelles, faible et forte. Ensuite, la convergence à deux échelles sera utilisée pour justifier les développements asymptotiques des solutions. Enfin, nous appliquerons cette technique à l’analyse théorique et numérique de problèmes issus de la physique des plasmas.

Références :
E. Frénod, E. Sonnendrücker : The Finite Larmor Radius Approximation, SIAM J. Math. Anal., 32(6), pp. 1227-1247, 2001.
E. Frénod, P.-A. Raviart, E. Sonnendrücker : Two-Scale Expansion of a Singularly Perturbed Con- e u vection Equation, J. Math. Pures Appl., 80 (8), pp. 815-843, 2001.
G. Nguetseng : Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 21(6), pp. 13941414, 1990.

Dernière mise à jour le 15-09-2015