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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 recherche 2013-2014 > Systèmes intégrables.

Systèmes intégrables.

Martin Boardmann

Un système intégrable au sens de Liouville est une équation différentielle hamiltonienne sur une variété de Poisson (par exemple symplectique) qui a suffisamment d’intégrales premières indépendantes, i.e. des fonctions lisses sur la variété constantes sur chaque courbe intégrale. Plusieurs équations de Newton sont intégrables comme l’oscillateur harmonique ou un système gravitationnel à deux corps, mais on a trouvé beaucoup d’autres depuis 50 ans. Nous allons rappeler les variétés symplectiques (au moins localement), les champs de vecteurs hamiltoniens et le crochet de Poisson sur l’algèbre de toutes les fonctions lisses. Après avoir donné la définition précise de l’intégrabilité au sens de Liouville, on va étudier les premiers exemples explicites comme le flot géodésique sur la sphère de dimension $n$. Ensuite, on introduira les couples de Lax, et étudie d’autres exemples comme la chaîne de Toda ou les systèmes de Calogero-Moser. Finalement, on regarde quelques techniques pour transformer une symétrie nonabélienne (donnée par une algèbre de Lie) en une symétrie abélienne à l’aide de l’astuce de Manakov-Mishchenko-Fomenko.

Dernière mise à jour le 2-05-2013