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Accueil > Enseignement > Masters > Archives Master 2 recherche > Programme détaillé du Master 2 recherche 2013-2014 > Introduction aux D-modules.

Introduction aux D-modules.

Adriano Marmora et Christine Noot-Huyghe.

Classiquement, les théories cohomologiques, comme la cohomologie de de Rham, fournissent des invariants des variétés algébriques complexes qui sont primordiaux dans l’étude de ces variétés. L’étude de la cohomologie de de Rham est un cas particulier d’une théorie plus vaste:celle des équations différentielles linéaires sur les variétés algébriques, ou, ce qui revient au même, la théorie des modules à connexion intégrable.

L’objectif de ce cours est d’étudier ces équations différentielles linéaires attachées aux variétés algébriques complexes. Dans un premier temps, nous mettrons en place les outils techniques nécessaires à la définition des modules à connexion et
donnerons quelques propriétés classiques. Le point d’orgue du cours sera le théorème de Picard—Fuchs, donnant une équivalence de catégories entre les modules à connexion intégrable et les représentations du groupe fondamental.

Nous introduirons à la fin du cours le formalisme des D-modules, qui généralise celui des modules à connexion, et terminerons en donnant un lien entre les D-modules et
les représentations des algèbres de Lie d’un groupe algébrique semi-simple, connu sous le nom de théorème de localisation de Brylinski—Kashiwara—Beilinson—Bernstein.

Plan du cours :

  • Théorie des faisceaux cohérents sur une variété algébrique complexe. Théorèmes de Cartan. Cohomologie de de Rham d’une variété algébrique complexe.
  • Modules à connexion, théorème de classification de Turritin dans le cas formel.
  • Images directes et inverses de modules à connexion. Connexion de Gauss-Manin. Lien avec la cohomologie de de Rham.
  • Théorie de Picard—Fuchs.
  • D-modules : définitions de base. Théorème de localisation.

pré-requis :
Les cours Introduction à la Géométrie Algébrique et
Surfaces de Riemann et courbes algébriques.

Dernière mise à jour le 2-05-2013