Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501

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6 février 2012

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09h00

Olivier Benoist - ENS Paris

On considèrera le problème de modules des intersections complètes lisses dans l’espace projectif. On montrera l'existence d'un espace de modules grossier séparé. A l'aide de théorie géométrique des invariants, on montrera dans des cas particuliers que celui-ci est quasi-projectif.

10h15

Nicola Mazzari

L'exposé portera sur un travail récent en collaboration
avec B. Chiarellotto et A. Ciccioni.
Soit R un anneau de valuation discrète complet de caractéristique
mixte (0, p). La cohomologie syntomique rigide défini par A. Besser
est un outil pour étudier les cycles de R-schémas lisses. Elle est
analogue à la cohomologie de Deligne-Beilinson. Elle est construite
par la cohomologie de de Rham de la fibre générique et la cohomologie
rigide de la fibre spéciale. Nous allons montrer comment prouver
certains des axiomes de Bloch-Ogus de cette théorie cohomologique.

11h30

Clélia Pech - Grenoble

Les grassmanniennes symplectiques impaires sont une généralisation des grassmanniennes symplectiques au cas des espaces vectoriels de dimension impaire. Ce sont des variétés quasi-homogènes sous l'action du groupe symplectique impair. Elles fournissent un exemple de calcul explicite de la cohomologie quantique pour des variétés qui ne sont ni homogènes ni toriques. A la différence du cas pair, certains invariants de Gromov-Witten ne sont pas énumératifs. Néanmoins, pour les grassmanniennes symplectiques impaires de droites on obtient des formules de Pieri très similaires à celles du cas pair. On remarque que leur cohomologie quantique est semi-simple et on peut confirmer une conjecture de Dubrovin dans ce cas. Dans le cas général, on peut démontrer un principe quantique-classique pour certains invariants de Gromov-Witten de degré un. Sous réserve de l'énumérativité des invariants de degré supérieur, on en déduit que la règle de Pieri quantique est entièrement déterminée par le calcul des invariants de degré un.

14h00

Michel Raibaut - Paris

L'intégration motivique est une théorie de l'intégration en géométrie algébrique introduite par Kontsevich en 1995, pour montrer que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement équivalentes possèdent les mêmes nombres de Hodge. Denef-Loeser ont ensuite développé cette théorie et l'ont utilisée en théorie des singularités. En particulier à une fonction f définie sur une variété algébrique complexe lisse et à un point singulier x de f, Denef-Loeser ont montré comment associer un motif appelé "fibre de Milnor motivique de f en x" et analogue motivique de la fibre de Milnor classique de f en x. Dans cet exposé nous présenterons les bases de l'intégration motivique et nous montrerons comment associer des motifs aux "singularités à l'infini" d'une fonction.

15h30

Max Rempel - ENS Paris

our une variété algébrique projective toute classe numériquement effective (nef) dans l’espace de Néron-Severi réel est pseudoeffective (psef). Dans un article récent, Debarre, Ein, Lazarsfeld et Voisin montrent que, en codimension $2$, le produit $A \times A$ d’une surface abélienne $A$ très générale admet des classes nefs qui ne sont pas psefs, de sorte que l’inclusion qu’on a en codimension 1 ne tient plus forcement en codimension supérieure. On étend le résultat de Debarre, Ein, Lazarsfeld et Voisin en montrant qu’il existe des classes nefs qui ne sont pas psefs en toute codimension $2 \le k \le en-2$ sur la puissance $A^e$ d’une variété abélienne très générale $A$ de dimension $n$.