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Accueil > Enseignement > Ecole Doctorale > Archives > Sujets de thèse proposés à la rentrée 2011

Sujets de thèse proposés à la rentrée 2011

Titre : Morphismes analytiques de courbes paraboliques dans des espaces de modules.

Directeur de Thèse : Carlo Gasbarri, professeur

L’étude des familles de variétés sur une base qui est une courbe projective est classique et toujours actif. Cet étude reviens a l’étude des propriétés des courbes dans des espaces de modules. Par exemple des courbes dans l’espace de modules des courbes de genre g. Beaucoup des recherches sur l’argument ont et les motives par les problèmes diophantiennes sur les corps des fonctions : On peut citer par exemple le problème de Mordell sur les corps des fonctions, dont on connait maintenant beaucoup de solutions : Par Parshin, Arakelov, Szpiro, Vojta, Moriwaki, Esnault et Viehweg et autres.

On a aussi d’autres résultats qui ont un lien avec ce type de problème : par exemple le problème de Shafarevich sur les corps de fonctions.
La plus part de résultats en question concernent certains inégalités non triviales entre des nombres obtenues à travers la théorie de l’intersection :
Par exemple la conjecture abc sur les courbes elliptiques (théorème de Szpiro) concerne une inégalité entre le degré du discriminant minimale relatif d’une courbe elliptique sur un corps de fonctions, le nombre des bres de mauvaise réduction et le genre de la courbe de base.

Ou encore : l’inégalité de Bogomolov Miyaoka Yau sur une surface bree sur une courbe peut etre interprétée comme une borne pour le degr e de l’accouplement de Deligne du cotangent relatif en termes du genre de la base, le genre de la bre générique et les bres de mauvaise réduction.
Dans cette thèse l’étudiant devrait étudier des problèmes analogues dans le cas ou on se trouve sur des surfaces bres sur une courbe parabolique, au sens de Ahlfors (par exemple). Surface qui ne sera plus algébrique mais que analytique. Par exemple une courbe elliptique de la forme y2 = x(x 􀀀 1)(x 􀀀 f(t)) ou f(t) est une fonction analytique non algébrique.
Dans ce contexte on peut de nir les analogues des objects algébriques : par exemple le discriminant relatif sera une section analytique d’un bre sur la base, l’accouplement de Deligne est de ni etc. La théorie de Nevanlinna permet d’étudier la fonction caractéristique comme si elle était un nombre d’intersection. Donc il est probable qu’on peut trouver des analogues des inégalités obtenues dans la théorie algébrique. Tout ca devrait se traduire en théorèmes sur les propriétés des morphismes analytiques des surfaces de Riemann analytiques paraboliques dans les espaces de modules correspondants.
Les méthodes nécessaires pour obtenir ce type de résultats ont origine de la géométrie algébrique, de la géométrie analytique et de l’arithmétique. On devra avoir bien compris l’analogie pour translater les méthodologies de la géométrie algébrique à la géométrie
analytique et probablement on arrivera à des problématiques locales ou globales qui devront être résolues par l’analyse complexe. Il n’est pas exclu que la recherche permettra aussi de comprendre comment on peut construire des exemples qui montrent que l’analogie entre géométrie algébrique et théorie de Nevanlinna ne s’applique pas toujours (et même si ca serait un résultat négatif, il serait très intéressant car nous montrera que il faut mieux comprendre les relations entre analyse et algèbre).

Titre : Normalité en base non entière.

Directeur de Thèse : Yann Bugeaud, professeur

Soient b et b’ des nombres réels distincts strictement supérieurs à un. Un nombre x est dit normal en base b si la suite x b^n, n=1, 2, …, est équirépartie modulo un. Il s’agit de déterminer la dimension de Hausdorff de l’ensemble des nombres réels qui sont normaux en base b et qui ne sont pas normaux en base b’. Ceci complèterait des travaux de Brown, Moran, Pearce et Pollington. Le développement en fraction continue d’un nombre réel x est dit normal si la suite de ses quotients partiels est équirépartie relativement à la mesure de Gauss. Existe-t-il des nombres réels qui ont un développement en fraction continue normal mais ne sont pas normaux en base b ?

Titre : Géométrie tropicale énumérative.

Directeur de Thèse : Ilia ITENBERG, Professeur

La géométrie tropicale est un domaine relativement nouveau de mathématiques. Son progrès spectaculaire durant les dix dernières années était motivé par ses liens multiples et profonds avec de nombreuses branches des mathématiques. En géométrie tropicale, des objets algébro-géométriques sont remplacés par des objets plus simples affines par morceaux. Par exemple, les courbes tropicales dans le plan sont des graphes rectilignes dont les arêtes ont des pentes rationnelles.

Dans certains cas, une variété tropicale peut être approximée par une famille de variétés complexes à un paramètre. Ceci produit des liens importants entre le monde algébrique complexe et le monde tropical. Un des exemples est le théorème de correspondance établie par G. Mikhalkin. Ce théorème permet de dénombrer des courbes complexes nodales de genre donné qui passent par des points génériques donnés dans une surface torique. Formulé de manière informelle, le théorème de Mikhalkin affirme que le nombre de courbes en question est égal au nombre de leurs analogues tropicaux passant par des points génériques donnés dans le plan R2 et comptés avec des multiplicités. La correspondance permet aussi de dénombrer des courbes réelles passant par des collections réelles spécifiques de points sur une surface torique (bien entendu, avec les résultats dépendant du choix de la collection). Cette approche couplée avec la découverte faite par J.-Y. Welschinger d’un analogue réel d’invariants de Gromov-Witten de genre 0 a ouvert des nouvelles voies en géométrie énumérative, et en particulier, en géométrie énumérative réelle.

Le but du travail de thèse est d’entreprendre une étude systématique des invariants de Gromov-Witten tropicaux et des invariants de Welschinger tropicaux des variétés toriques. L’exploitation de la technique de déformations tropicales doit permettre d’approfondir la compréhension de l’interprétation tropicale des invariants de Welschinger et d’obtenir des bornes inférieures importantes dans plusieurs problèmes de la géométrie énumérative réelle.

Titre : Exemples d’utilisation de la théorie des D-modules arithmétiques en géométrie.`

Directeur de Thèse : Huyghe, Christine, CR1 CNRS

Sur le corps des nombres complexes, il y a un lien très profond entre les D-modules et la théorie des représentations des groupes semi-simples. Ce lien, un théorème de localisation des modules sur les algèbres de lie d’un groupe réductif, a par ailleurs permis de montrer les conjectures de Kazhdan-Lusztig. Ce théorème de localisation permet de donner une interprétation géométrique de certains de ces modules.

Dans le cadre arithmétique, c’est-à-dire sur un anneau de valutation discrète, on dispose depuis récemment d’énoncés analogues. D’autre part, les travaux récents de Caro permettent de mettre en œuvre les mêmes constructions à celles dont on dispose en caractéristique zéro, même s’il reste quelques complications techniques liées au fait qu’on ne dispose pas encore de théorème de Riemann-Hilbert.

On propose dans cette thèse d’appliquer ces résultats à des situations géométriques particulières

Titre : Etude de l’opérateur de gyromoyenne et de son couplage avec les équations de Vlasov gyrocinétiques.

Directeur de Thèse : Vilmos Komornik, Professeur

Avec la construction d’ITER sur le centre du CEA-Cadarache, la modélisation des plasmas de tokamak est au centre de grands intérêts. En particulier, dans le plasma de coeur r\’esident des phénomènes complexes qui ne sont pas bien compris des physiciens et sont des sujets de recherche d’actualité. La description du plasma de coeur utilise le modèle gyrocinétique de Vlasov-Maxwell. L’inconnue de ce modèle est une fonction moyennée sur le mouvement cyclotronique rapide (induit par le fort champ magnétique) alors que le potentiel électrique varie sur cette orbite. Pour prendre en compte ces effets de rayon de Larmor fini, l’opérateur de gyromoyenne est introduit et permet d’assurer le couplage entre l’équation de Vlasov et les équations de Maxwell. Ainsi la résolution du modèle est constituée de : la partie Vlasov (transport dans l’espace des phases), l’opérateur de gyromoyenne et les équations de Maxwell. L’objectif de ce travail est l’étude et l’approximation numérique de l’opérateur de gyromoyenne. En géométrie cartésienne, une étude a été faite dans . En géométrie plus réaliste, les méthodes numériques classiques doivent être revisitées et adaptées au couplage avec d’une part l’équation de Vlasov, et d’autre part les équations de Maxwell.

Titre : Représentations des préférences sur des processus risqués, consistantes à un marché financier

Directeur de Thèse : Karl-Theodor Eisele, Professeur

Depuis l’axiomatisation des évaluations des phénomènes risqués dans l’article fondamental, appelées mesures de risques cohérentes, la recherche des représentations, appelées représentations robustes, de ces évaluations a beaucoup progressé, en particulier pour les processus dynamiques à temps discret . Ici, la notion de consistance dans le temps (time-consistency) joue un rôle essentiel. Cette propriété est équivalente au principe de Bellman dans l’optimisation dynamique.

Une autre concept, assez nouveau, est la consistance par rapport à un marché financier. Une bonne introduction de base à ce sujet nouveau des mathématiques financières est donnée dans le livre de Föllmer-Schied.

Une première tâche de la thèse proposée sera de donner une description uniforme de la théorie des évaluations cohérentes (ou plus général convexes) des processus risqués en incluant la consistance dans le temps et la consistance par rapport à un marché financier. Le début de ces recherches sera une axiomatisation d’un ensemble d’acceptation des processus dans laquelle on retrouve les deux notions de consistances mentionnées.

La consistance par rapport à un marché financier a deux aspects : d’une part, elle peut être caractérisée par la restriction des mesures (ou densités) de teste aux mesures appelées risque-neutres. D’autre part, elle peut être exprimée par un problème d’optimisation par rapport au sous-ensemble ou sous-cône des processus des portefeuilles admissibles du marché financier. Il serait important de donner des conditions de fermeture quand l’optimum sera atteint par un maximum. Ceci nécessite une bonne connaissance des topologie faible ou faible-* sur les espaces des processus.

Finalement, on peut envisager une généralisation de la représentation par rapport à un processus croissant qui soutient uniformément les processus risqués acceptables dans un contexte de temps continu avec les processus continus.

Titre : Conjecture ABC et Conjecture de la borne uniforme sur les corps des fonction.

Directeur de Thèse : Carlo Gasbarri, professeur

Une des conjectures leader en géométrie diophantienne est la conjecture de Lang. Cette conjecture prévoit que les points rationnels d’une variété de type générale définie sur un corps de nombres ne sont pas Zariski dense. Les cas connus de cette conjecture sont : la dimension 1, les variétés contenues dans une variété abélienne et très peu d’autres cas. Dans la moitié des années 90 Caporaso, Harris et Mazur ont prouvé que la conjecture de Lang implique une conséquence assez étonnante : pour tout corps de nombres K, et nombre entier g>1, il existe un nombre N(K,g) telle que toute courbe de genre g définie sur K a au plus N(K,g) points rationnels. Les auteurs, après avoir essayé d’utiliser ce résultat pour prouver que la conjecture de Lang était fausse, ont conjecturé que cette conséquence est vraie. Ceci maintenant s’appelle la "Uniform Bound Conjecture". L’analogue de la UBC dans le cas des corps de fonctions, quitte a ajouter une évidente hypothèse de non isotrivialité, est aussi ouverte. Il existe aussi une version logarithmique (pour des courbes ouvertes) de la UBC, cette ci aussi conséquence de la version logarithmique de la conjecture de Lang. Dans le cas des corps des fonctions on a a disposition beaucoup d’outils, pas disponibles dans le cas arithmétique : par exemple des versions très raffines de la conjecture ABC. On sait que, dans le cas arithmétique, les travaux de Baker, ou l’utilisation systématique de la conjecture ABC permettent d’obtenir des résultats très forts dans l’étude de points entiers de certaines courbes affines. Dans cette thèse je propose au candidat d’étudier les conséquences des versions disponibles de la conjecture ABC sur les corps des fonctions dans la direction de la UBC dans ce cadre. Il est très possible qu’on peut obtenir des bornes uniformes sur le nombre des points entiers de familles infinies de courbes affines.

Dernière mise à jour le 29-01-2013